P MM

de sorte que, pour une même longueur infiniment petite MM', la courbure est proportionnelle à la distance M' P de la courbe à la tangente. Euler a considéré la courbure d'une ligne tracée sur une sphère, et nous avons montré (550) qu'elle est proportionnelle à la distance de la courbe à l'arc de grand cercle qui la touche. On peut de même considérer pour une courbe tracée sur une surface quelconque un élément analogue, auquel M. Liouville a donné le nom très-expressif de courbure géodésique.

Soit AMB une courbe tracée sur une surface donnée, MT la ligne géodésique qui la touche au point M, M' un point infiniment voisin de M pris sur la ligne AM, et M'P la distance de ce point à MT; le rapport

aM'P

MM'

est, par définition, la courbure géodésique de la courbe AMB au point M. L'ana-

logie avec la courbure d'une ligne plane est évidente et justifie suffisamment la