LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Le rapport de la courbure - à la courbure géodésique de MM' est donc représenté

par -, -, pour l'évaluer, menons par le point M une parallèle MT, à la tangente

en M': elle formera avec la tangenteMT l'angle de contingence e; le planTlMTest(563) le plan osculateur de MM' et forme l'angle 0 avec le plan tangent en M qu'il coupe suivant MT, e' est évidemment la projection de s sur le plan tangent, et ces deux angles appartiennent à un trièdre rectangle dans lequel s est opposé à l'angle droit; on a donc

tange __i

tang e' cos 0 '

et, comme € et g' sont infiniment petits,

e' cos 0

Le rapport-? est, nous l'avons dit, le rapport de la courbure - à la courbure géode-

sique, qui par conséquent est égale, ainsi qu on 1 a annonce, a

Il n'est pas inutile de faire remarquer qu'une même courbe, étant située sur une infinité de surfaces différentes dont elle est l'intersection commune, a sur chacune d'elles une courbure géodésique spéciale qui peut varier depuis zéro jusqu'à la

courbure absolue - qui est sa valeur maxima. Cette limite est atteinte lorsque le

plan osculateur de la courbe est tangent à la surface sur laquelle on la considère comme tracée.

718. La courbure géodésique peut encore être considérée sous un autre point de vue auquel se plaçaient plusieurs géomètres allemands qui l'ont nommée courbure de développement.

Remarquons d'abord que la courbure géodésique d'une ligne tracée sur une surface développable est égale à la courbure de la ligne plane dans laquelle elle se transforme quand on développe la surface sur un plan. Le développement de la surface n'altérant pas en effet les longueurs des lignes tracées sur elle, les lignes géodésiques d'une telle surface ont pour transformées des lignes droites, et la ligne géodé-

sique tangente en un point de la courbe considérée se transforme dans le développement en une droite tangente au point correspondant de la courbe transformée; Pécartement entre la courbe et la ligne géodésique qui la touche est donc le même qu'entre la transformée et sa tangente, et l'on en conclut (714) l'égalité des deux courbures que nous comparons.

Cela posé, circonscrivons à la surface sur laquelle est tracée une ligne donnée, une surface développable qui la touche suivant cette ligne, et qui est évidemment l'enveloppe des plans tangents menés en ses différents points; la courbure géodésique de la ligne est la même, soit qu'on la considère comme tracée sur la surface donnée ou sur la surface développable, parce que le plan tangent étant le même pour les deux surfaces, la courbure dont l'expression a été trouvée au paragraphe précédent a la même valeur dans les deux cas. Si donc on développe la' surface développable sur un plan, la ligne considérée aura une transformée plane dont la courbure sera précisément égale à la courbure géodésique, dont le nom de courbure de développement se trouve ainsi justifié.

719. La considération de courbure géodésique intervient utilement dans l'étude des lignes tracées sur une surface: la suite de ce chapitre en montrera toute l'importance. Nous nous bornerons à démontrer immédiatement un théorème qu'il faut regarder comme fondamental dans cette théorie, et qui complète une proposition déjà obtenue (712).

Lorsqu'on considère sur une surface une série de lignes se succédant suivant une loi continue quelconque, deux arcs infiniment petits AB, A'B', interceptés entre

deux trajectoires orthogonales de ces courbes, ont une différence proportionnelle à la courbure géodésique de AB, et en supposant AB et AA' infiniment petits du premier ordre, on a, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,