mini — I ) {m

mi m — I ) .

sin2!P

sin3<

1.2.3 et, lorsque 9 est donné, ces équations ne présentent, d'après ce qui précède, aucune

ambiguïté, car -(^ — kn étant compris entre ~ ^ et -h -, - est compris entre ku — - et kn + -, ce qui, pour chaque valeur de 9, détermine le nombre entier k. Si l'on veut y remplacer ( l/4fos'-'^ j , qui est toujours positif, par la valeur 2C0S - 9, il faut le faire précéder du signe du.

Ajoutons les deux équations (3) après avoir multiplié la première par cosa et la seconde par sina, «étant un angle arbitraire, nous aurons

( ±2C0S -ç I COSi a — m --f-/n/<7r| = cosa -h m COS(a — !j>) H COS(a — 1i() -\- . • ..

Si l'on pose 9 = 2.r, on a

(4) (±:2COSx)'"COS(a — mx-h m/f7r)=C0Sa+m cos(a — 2X)H cos(a — 4^)+- • •»

±. i(^os,x étant toujours pris positivement.

Si l'on suppose a = mx, la formule (4) devient

/fx /^j . mim — i) , , .

(5) (±:2cosx)"' cosm/i rr = cosmx-j-mcos( w — 2).r H cos{m — i\)x -h. . .,

et si l'on suppose a = mx -h -, il vient

ia\ I -L. \™ • / • . / , mim — i) . , ,^

(oj (± 2COs.2;)'"sinw/r7r= smw.r+/nsin(m — '2.)x -\ ^ sin(m — 4 ).r + .

X étant compris entrée;: — - et kji-\-'^-> dans les premiers membres des formules (3 et 6) pour que ih^cosa? soit positif, il faut adopter le signe 4- si ^est pair et le signe — s'il est impair.

Si dans l'équation (4) on pose a = mx\ x=x' — -, et que pour la symétrie des formules, on change dans le résultat x' et x, il vient

(7) (±2sin.r)'"cosm ik-{--~\ n = cosma: — mcos(m — ■2)x-\ — ^^'^cos(m — ^)x ■+-...,

et si l'on fait a = mx' — -y x = x' , en changeant toujours a?' en x dans le résultat,

(8) {±:is\nx)'"s\nmlk-\--jT: = sinmx — msin(m — i)x-\ ' sin(m — 4).r H-.,..

Dans ces formules x est un arc arbitraire compris entre kn et (k^ i) n, et k un nombre entier quelconque. (±: lisin^) doit être positif, et l'on doit par conséquent prendre le signe h- quand k est pair et le signe — quand il est impair. Euler et Lagrange avaient donné la formule

(9) (2 cos.r)'" = cosm.r + m cos(m — ■ 2) x -{-. . . ,

que l'on avait acceptée sans discussion. Poisson futle premier à signaler l'impossibilité de l'équation (9) en remarquant que l'hypothèse m = ^, x = 7:, la rend

manifestement inexacte; le premier membre devient en effet — \2, et le second se réduit à