LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Si dans l'équation ( 5 ) on suppose m = ^' •^' — ^' •' ^^ut prendre ^ = i , puisque

n est compris entre ;r — - et tt -t- -? et donner le signe — à cos^ qui est négatif; le premier membre se réduit donc à

(2)' ces -^ rr,

c'est-à-dire à - 5^2 , et l'on voit qu'il est égal au second.

Il faut bien remarquer que la série

cosmx -+- m ces (m — 2).r H ces (m — 4)jc + . . .

est une fonction discontinue de x, et qu'elle cbange brusquement de valeur lorsque ce croissant d'une manière continue passe par une valeur de la forme

kn+ -, car à ce moment il faut, dans le premier membre, augmenter l'entier k

d'une unité.

Si l'on supposer précisément égal à ^;i-i- -» tous les cosinus qui figurent dans

la série deviennent alternativement égaux à cosm^ et à — cos riix, et la série devient

cos ma; I — m -] H -^ '■ — ...»

série convergente et égale à zéro si m est positif çt divergente si m est négatif.

L'équation (5) peut donc être regardée comme exacte, car la valeur attribuée à X donne cosà7 = o; (cosa?)'" est donc nul si m est positif, et ijifini s'il est négatif.

385. Si dans les formules (5), (6), (7) et (8) du paragraphe précédent on attribue à m une valeur entière, les seconds membres se réduisent à un nombre limité de termes. Considérons la première

/ ^ /i N *i / > m(ni — i) , /N ,

( 1 ) (±2COS^)'"cosm/r7r = cos mx -4- m cos (m — 2).r H ^^ cos (m — 4)-^ +

Si l'on suppose que m y désigne un nombre entier pair, in, cosmkn est égal à l'unité, et en supprimant dans le second nombre les termes qui sont nuls, et remarquant que le signe ± placé dans le premier membre est sans influence sur sa valeur, on a

(2 cosx)"' = cosinx H- 2wcos(2n — i]x -\ ^ cos(2/j — \)x-^. ., .

in[7.n — i). . . n-(- I

— ^ H- ... -h 2 /i cos [2 n — {i\ii — I j X j -r cus^ ^ /

. . .-i-2ncos[2«— (4n — i).r] + cos(2n — ^n)x.

et comme les termes également distants des extrêmes sont égaux

(■2 COS^)"'= 2 C0S2nX-\- 2 (2/1 ) ces (2/1 2)^-1-2 ^ C0S(2W — 4 ) -^ H" • • •

in[in — I )...{n-\- i) i .1.6. . .n

le dernier terme étant le seul qui, ne se trouvant qu'une fois dans l'équation (2), ne

doit pas être doublé.

Si dans la formule (5) on remplace m par un nombre entier impair (2/1 + 1),

cosm^7restégalà + i, si^ est pair, età — i s'il est impair; mais dans le premier cas

cos X est positif et il faut prendre le signe h- dans la parenthèse du premier

membre; dans le second il est négatif et il faut adopter le signe — : le premier

membre se réduit donc toujours à (acos^)"""^', et l'on a, en supprimant les termes

nuls dans le second membre et remarquant que les termes également distants des

extrêmes sont égaux,

(2 cos.r)'"+' ^= 2 cos (2/1 + \]x -\-'2.[in-\-\) cos (2/? — \]x -^1 — cos (2/1 — d>)x -^...

+ 2--^ ^ ^ cos.r.

De même en supposant m entier dans les formules (7) et (8), on trouvera