çp(z) désignant une fonction quelconque de z, on a

f(z) Si l'on substitue à 'o{z) la fraction "^ — - , on déduit de cette formule

z — a: *^ [(z))(i — zx)

En faisant f(x)=: cot - 5 cette formule donne

cot - = X — o.x

X \7r'x' — I /Itt^

T^'^X^ I ^T^'^X'-— I (^Tt'X- I

2. Eu appliquant à l'équation = o, la méthode générale indiquée (449) pour ob-

tenir la somme des puissances de degré — 2^ de ses racines, on a

I / , . sin 77 2 ^

d".\. — II 2

22„ ^ 32« -^ I . 2 . 3 ...(«— I ) \ dz"

la somme est par conséquent le coefficient de z" dans le développement du produit

2 sin z

en série ordonnée suivant les puissances de z.

3. o [x,) désignant une fonction paire de la variable x, on a

/ V , / ^ , s / ■- r <P ( -Z ) r /' -Z 7t cos w z \ 1

,(o) + ,(,)+,(2)+...-f-cp(^^,+ ... = i^^[(-^^^^^^)J.

I.IVRE SFXOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. On déduit de la formule précédente

(Iz [{z"")]

J.l ain-rz I

is 4-2

» </.! sin 712 I

s'" [s H-i/" {s —I)" 5. En supposant dans la formule précédente m = i , elle se réduit à

-I- . , . = t: COt-S.