LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

En appliquant le théorème deTaylor, et remarquant que l'on a F (a, h) = o, l'équation (2) devient

dY d¥

( 3 ) o = -T- R cos M 4- -T7- R sin u ■+- MR^ ,

M ayant une limite finie lorsque R tend vers zéro; l'équation (3) peuts'écrire

dF dF .

o = -7— ces ?< H — 77-sinM-l-MR, da do

et la valeur de à qui y satisfait, lorsque R est infiniment petit, diffère évidemment fort peu de la valeur m, pour laquelle on a

dF ' dF

e'est-à-dire

, cos u, H — rr sin u, ^= o, da do

dF

da

langa, = — ^^p.

db

qui correspond à une direction unique et déterminée, puisque, par hypothèse,

-y- et -jt ne sont pas nuls tous deux. da do *

Les rayons vecteurs qui réunissent le point M aux points d'intersection, font, d'après cela, des angles infiniment petits avec une même droite, et la courbe a par conséquent en M une tangente unique. Mais cela n'exclut pas encore tous les genres de points singuliers, et il faut prouver qu'il n'y a en M, ni point de rebroussement, ni point multiple, où se croisent plusieurs branches de courbe ayant même tangente. Pour cela nous démontrerons que la tangente, dont l'existence a été démontrée, coupant le cercle de rayon R en deux points diamétralement opposés P et Q, la courbe proposée le coupe elle-même en deux points seulement, dont l'un est infiniment voisin de Pet l'autre de Q.

Considérons, en effet, à droite et à gauche du point Q, et sur le cercle PQ, deux points I et V correspondant à des rayons MI, MI', inclinés sur MQ d'un angle donné a; faisons varier u, d'une manière continue, depuis la valeur «, — a qui correspond au point I', jusqu'à m, -i-a qui correspond au point I, et examinons la

variation correspondante du premier membre de (3). Il devient pour u = u^ — a

et pour M = w, +a

Posons

-T- CCS (m, — a)+ -jr sm{Ui — a) + MR,

-j- cos {lit -hoc) -j- -jj- sin (m, H- a) -h M' R.

dT j . dF

da db

ce qui est toujours possible, puisque y et -tt ne sont pas nuls, et que l'on a

dF

-^ = tang...

da dF db

l'équation de la courbe devient

(4) ^•sin(M, — m)h-MR = o,

R étant infiniment petit, si l'on fait varier udeUf — a à m, -t- a , ou de tt H- w, — a à TT + M, +a, le premier membre change évidemment de signe dans chacun de ces intervalles, et de plus il ne change qu'une fois, car la dérivée par rapport à u

— kGOs(u, — m)4-R -jdu

ne change de signe dans aucun des deux intervalles, et par conséquent le premier membre de (4), étant toujours croissant ou toujours décroissant, ne peut s'annuler qu'une fois.