LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIOUES

0, a ce.

p-i cl y.,

et l'équation devient

hji.

hji

c'est-à-dire, en faisant les mêmes réductions que (513,,

dx dxl dxs dy., dy, dy.

hjh

560. Les fonctions ]-■> ^, faisant connaître ^556) la loi de variation de la distance «1 Ih '

entre deux courbes infiniment voisines appartenant à un même système, on comprend que l'équation ( 7 ) qui a lieu entre ces fonctions et leurs dérivées exprime implicitement la loi suivant laquelle peuvent varier les côtés des rectangles infiniment petits dans lesquels une sphère peut être décomposée par deux systèmes de lignes orthogonales. Pour obtenir cette loi explicitement, il suffira de remplacer dans la formule, ~ etj par leur expression en fonction des côtés infiniment petits de ces rectangles. Soient PQRS, P;Q,R,S,..., PP^P^, QQ.Qa- - l^-s lignes de l'un et l'autre

svstème correspondant aux valeurs a,, 5^2, des paramètres, et à celles que l'on obtient en leur attribuant des accroissements infiniment petits, égaux à d&, pour le premier, et à dc(2 pour le second. Nommons, comme nous l'avons fait, dans le cas des courbes planes, a: et v les côtés PQ, PP,... du premier rectangle, et désignons parle signe dh variation qui correspond à l'accroissement doc, de a,, et par â celle 1, 7^

m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFIÉRENTIEL.

qui correspond à la variation da^ de c/.^, on a

fit •

. (/x = P, Q, - PO ^ -;! ( ^ \ ,/«, = doc^ r/a. ^-' ,

rfa-, \ /h J ' da.2

o>= QQ, - PP, = -^(^\ da.^dy., dx. -j^ , da, \ h, j da.1

d^x = -. — Idx) dx, = rfa: dx: - , J ? d X, da\

0' }•= -r— [oy)d x,^=i dxydx\ —f—^'

•^ dxi - - dx;

En substituant dans l'équation 7) a A, , lu, et à leurs dérivées, les valeurs déduites de ces formules, elle devient, après la suppression du dénominateur da^ . doc.^,

d^x ô- y dx dy oxoy

(8) x'^yd'^x-\-y''x^'^y — x"- dy dx — j-' oj-ôa- — — ^t'""/'.

Les variables a,, 7.3, dont les accroissements ont déterminé la loi d'espacement des courbes qui forment les rectangles, étant arbitraires, cette loi est elle-même arbitraire; l'équation (8) exprime donc la loi la plus générale régissant les côtés des rectangles curvilignes infiniment petits, que l'on peut juxtaposer sur une spbère dont le rayon est pris pour unité.

Si l'on veut changer d'unité et représenter par R le rayon de la sphère, x, 7, dx^ dy^ d- X, d^y..., étant des lignes, daivent être divisées par R, et l'équation (8) devient

(g) x-yd-x + >'^r ô^)' — x^ dydx — y'^oy^ox := —^ •