O MM

on asin— =

7. Si les points d'une surface correspondent, un à un, à ceux d'une autre surface, de telle sorte qu'un point de l'une étant choisi, son correspondant se trome déterminé sur l'autre, la distance de deux points infiniment voisins de F une des surfaces est de même ordre que celle de leurs correspondants.

Considérons, en effet, deux points A et B de la première surface et leurs correspondants P et Q sur la seconde. Supposons que B se rapproche de A en suivant une certaine courbe sur la première surface, Q se rapprochera en même temps de P en suivant une courbe correspondante. Si nous portons exclusivement notre attention sur ces deux courbes, nous rentrons dans le cas examiné plus haut, et nous pouvons conclure de ce qui a été dit (5) que les distances AB et PQ sont des infiniment petits de môme ordre.

8. Donnons maintenant un exemple d'infiniment petit du second ordre. Considérons une courbe plane quelconque et la tangente en un point M. Si d'un point M'

(y PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

situé sur la courbe à une distance infiniment petite du premier ordre de M on abaisse sur cette tangente une perpendiculaire M'P, M'P sera un infiniment petit du second ordre.

Et d'abord il est facile de voir, par la considération du triangle MM'P, que M'P est un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier; on a, en effet, dans ce triangle,

MM'

sinPMMS

et comme l'angle PMM' est évidemment infiniment petit, MM' étant du premier ordre, M'P est (1 ) un infiniment petit d'un ordre supérieur. Il nous reste à prouver que sin PMM' ou, ce qui revient au même, l'angle PMM' est un infiniment petit du premier ordre, car, cela étant, M'P sera le produit de deux infiniment petits du premier ordre et par conséquent du second ordre. Pour faire cette démonstration, considérons la tangente en M' à la courbe donnée, et soit I le point où elle coupe la tangente en M. Si l'on nomme £ l'angle formé par ces deux tangentes, on a évidemment