LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Ct
étant proportionnels au carré du rayon de l'indicatrice, on peut tous les déduire d'une seule hyperbole en remarquant que les carrés des rayons imaginaires, étant négatifs, donnent piécisément des rayons négatifs pour la section dont la courbure sera opposée à celle des sections dont le rayon est considéré comme positif.
Dans le cas où l'indicatrice est une hyperbole, il existe deux sections dont le rayon de courbure est infini, ce sont celles qui ont pour traces sur le plan tangent les asymptotes de l'indicatrice. Ces sections séparent celles qui sont courbées dans un sens, par rapport au plan tangent, de celles qui le sont en sens opposé ; leur courbure étant nulle, elles sont situées à une distance infiniment petite du second ordre du plan tangent, et sont tangentes par conséquent à la courbe suivant laquelle ce plan coupe la surface.
Il peut sembler extraordinaire que ces sections, dont le rayon de courbure est infini, soient distinctes de celles dont le rayon de courbure est maximum; cela tient à ce que l'expression qu'on rend maxima ou minima est l'inverse du rayon de courbure, et que cette expression étant susceptible de signe, les valeurs négatives sont inférieures à zéro, et que, par suite, lorsque la courbure est nulle, elle n'est pas, analytiquement parlant, la moindre possible. Les courbures extrêmes sont la plus grande courbure absolue de la section dans l'un. et dans l'autre sens.
642. Il peut arriver que l'indicatrice soit du genre parabolique; mais comme, d'après la forme de son équation, elle est toujours une courbe à centre, elle se réduit dans ce cas à deux droites parallèles; la section de moindre courbure a alors un rayon de courbure infini, et J'autre qui lui est perpendiculaire a une courbure finie. Cette circonstance se présente ordinairement en des points exceptionnels; mais pour la classe parliculière des surfaces développables, l'indicatrice est partout parabolique, comme nous le montrerons plus loin.
Courbure d'une section oblique.
643. Soit OT une droite tangente à une surface en un point 0 ; menons par cette droite et par la normale ON à la surface un plan qui coupe la surface suivant une courbe ok, et un second plan faisant avec le premier un angle 5, et coupant la surface suivant une courbe ok' . Pour comparer les courbures des deux sections, prenons sur la ligne OT, qui évidemment est tangente à toutes deux, une longueur infiniment petite OM, et par le point M élevons dans'le plan des deux courbes les perpendiculaires MI, MT, qui formeront entre elles l'angle 0 mesurant l'inclinaison de ces plans; la courbure de la première courbe est (498)
OM
et celle de la seconde
MI
leur rapport est donc j^- Or le triangle MIT est à la limite rectangle en I,
car MI, parallèle à la normale en 0, est infiniment voisin de la normale en I à la surface, et H' est, à la limite, une tangente à cette surface; on a donc, puisque l'angle IMI' est égal à 5,
