LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

^ 696. Surfaces canaux . — \^fix^{\}\% le rayon de la sphère enveloppée est constant, la surface enveloppe porte le nom de surface canal. D'après ce qui précède, l'un des rayons de courbure d'une surface canal est constant.

Réciproquement, toute surface dont un rayon de courbure est constant est l'enveloppe des positions d'une sphère mobile de rayon constant.

Si, en effet, l'un des rayons de courbure est constant, pour obtenir la ligne enveloppée par les normales menées aux différents points d'une ligne de courbure, à laquelle correspond ce rayon, il faut, sur chaque normale, porter une longueur constante; la courbe ainsi obtenue appartient (101) à une surface parallèle à la surface donnée, et coupe par conséquent à angle droit les normales de celle-ci; mais d'un autre côté elle doit être l'enveloppe de ces normales, et par conséquetit leur être tangente. Les deux conditions étant incompatibles, la courbe ne peut exister et doit se réduire à un point; les normales aux différents points d'une même ligne de courbure vont donc concourir en un même point dont la distance à la surface est égale au rayon de courbure constant; une sphère décrite de ce point comme centre contiendra par conséquent la ligne de courbure et touchera la surface en tous les points de cette ligne : il existe une telle sphère pour chaque ligne de courbure, elles ont toutes pour rayon le rayon de courbure constant de la surface qui est, par conséquent, l'enveloppe d'une sphère de rayon constant.

697. On peut trouver analytiquement les surfaces dont un rayon de courbure est constant.

Soient X, Y, Z les cosinus des angles formés par la normale à la surface avec les

axes de coordonnées. On a, en nommant r- le ravon de courbure constant de la

surface,

le signe de différentiation se rapportant, comme on sait (637), à un déplacement infiniment petit effectué sur la ligne de courbure. On déduit de ces équations

X — RX = a, (2) j-RY={5t,

xj— RZ =y,

a, /3, 7 restant tous trois constants lorsqu'on reste sur une même ligne de courbure, et pouvant par conséquent s'exprimer tous trois en fonction d'un même paramètre. On en conclut qu'il existe deux équations entre ces trois quantités, et si l'on pose

JX I

dY I

dZ 1

dx~'^'

dr "B'

dz ~R

on aura

^ — RX = 9(z-RZ), j— RY = i];(z — RZ). L'équation

combinée avec les équations (2), donne

(3) (j,-y.y + {x—^Y-h{z — yy=R\

et, polir chaque valeur de 7, cette équation représente une sphère du rayon R, sur laquelle se trouve la ligne de courbure correspondante; de plus, les équations (2) pouvant s'écrire

elles prouvent que la normale à la surface en chaque point de cette ligne de courbure coïncide avec le rayon de la sphère qui forme évidemment avec les axes des angles dont les cosinus sont représentés par les seconds membres des équations ( 4 ) . La sphère (3) touche par conséquent, tout le long de la ligne de courbure, la surface cherchée, qui est par suite l'enveloppe des positions d'une sphère de rayon constant dont le centre parcourt une courbe arbitraire.

698. Surface dont toutes les lignes de courbure sont circulaires. — Pour que les lignes de courbure de l'un des systèmes soient des cercles, il faut (695) que la surface soit l'enveloppe d'une sphère mobile dont l'équation ne contienne qu'un seul paramètre arbitraire. Il en résulte évidemment qu'une surface dont toutes les lignes de courbure sont des cercles peut être considérée de deux manières différentes comme l'enveloppe des positions d'une sphère mobile, les sphères du premier système touchant la surface suivant une série de cercles, et celles du second système suivant d'autres cercles perpendiculaires aux premiers. Or, il est clair que chaque sphère appartenant à l'un des modes de génération est tangente à toutes celles de l'autre système; considérons en effet deux .sphères quelconques correspondant à des cercles de systèmes différents qui se coupent à angle droit; les deux sphères passent par le point commun aux deux cercles et ont en ce point même plan tangent, puisque toutes deux touchent la même surface. Si par conséquent on considère trois sphères du premier système, toutes les sphères du second système les touchent toutes trois, et comme la condition d'être tangente à trois sphères fixes détermine complètement les positions successives d'une sphère mobile, s'il existe une surface dont