LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

c'est-à-dire

(5) A^MÔM-f-B {(ludv-hdvdu) -+- Cdvdv=^o.

D'ailleurs la variation de k étant nulle lorsque l'on passe du point A au point B,

on a

d/f ^ dff ^

et l'élimination de c?w et de âv entre les équations ( 5 ) et (6) donne /, dk „ dlf\ j /^ dk ^dh'\ ,

Posons

dk , dk , ,j ~r- du -{- -r dv = dk.

du d f

Élevons cette équation au carré et ajoutons-la membre à membre avec la première des équations (i) préalablement multipliée par un facteur X, nous aurons

(8) (^It du-h^^ dA' -h}.{Adu' + 'zBdudv-hCdv') = dk' -h lds\

^ ' \du dv J

Déterminons X, qui est arbitraire, par la condition que le premier membre soit le carré d'un binôme de la forme Vdu-\-Çldv: on voit aisément qu'il faut prendre

. \dv I du dv \ du I