DE LA RÉFRACTION TOTALE
Nous allons enfin déterminer une valeur approchée de Tintégrale définie
648000 r Vï-*-^*(ï— *)/ . ^\-\j
J Si (i-+-2aw)* OÙ, pour simplifier, on a remplacé par e la ibnction
I (1 — *)« tang»^a
et qui exprime la valeur exacte de la réfraction totale R évaluée en secondes d'angle.
On a démontré précédemment que e est posilîf pour toutes les valeurs de u et les valeurs coi*respondantes de s. De là il est aisé de conclure que Ton a
I ■- 1 £ < (î H- e)" » < ï - -î-s H- Je^
En eflet, <p(s) étant uue fonction quelconque de e, et et Q' deux nombres positifs moindres que 1 , on sait que
<p(s) = (p(o) -K <p'(6e)s et
<P(e) = 0(0) -f* cp'(o)e + cp''(ô'e) i .
Faisons, dans la première égalité,
et, par suite,
0(0) sera nul, ç'(e) sera positif pour s positif; donc ©(e) sera positif, et Ton aura
( 38) pour e positif. Faisons ensuite, dans la seconde égalité,
«p(e) = (I -H e)"» — I 4- ie - |e*; d'où
?'(e)=-{(i-+-er"''+i-îe et
<j>(o)etç'(o) seront nuls, çp"(8'e) sera négatif pour s positif; donc (f(t) sera négatif, et l'on aura
(i-hÊ)"«<i — Je + fe*
pour € positif. Cela étant, si Ton pose
— ataDg^t '
(i-4-2aa)«
'0 (n-2aaV
,/o (i4-2aa)«
3 648000 ^ /*VT-+-2a(i — 5) . __atang;.«/ ^^
i (i — ■Sri tani
on aura
par suite,
mais,
(H-'2aw)*
étant toujours moindre que i et
I (i — sy
l-h 20iU
positif et toujours moindre que i — (i — sy<^2S^W est moindre que
3 6480OO y , r\ j
et, par conséquent, d'après ce qui a été démontré dans le paragraphe précédent, moindre que
,648ooo i /8\«
3 =--av/n-^ai ■£- j tang<>^a;
on peut donc écrire
(a) o<R-R'<3 54^a/7T^(|)\ang»^«,
et tout se réduit à trouver des limites R', c'est-à-dire de
a tangifa / "^ ^^ ^ I î tang'Za 1 du
(i-+-2a)« (i-f-2att)^
€3ftt
OU encore de
atang^a / ^^ — r" ( i tang* j?a I du
3 648000 , / (n-Aa)25î(i — I
Oi- ]a lioisièiuc de ces dornièrcs ÏHU'gralus usl tiioiiidru
que - -^-— a(i ■+■ aa)*tang»z„ / s'' (ht et, par couse-
qucQl, moiiidie que 3^^ a(i -4- aa)' (|y\aiig-^2.,. Si donc on l'appelle A? après y avoir supprimé lo fadeur
a tangua,
TT
nous aurons, en premier lieu,
(7) o< A7<3(n-!2a)"M fij tangî<«a.
Quant aux deux autres, elles se cléeomposent en h s six suivantes :
(i-+-2aw)'^
du = Al,
Un^^Za I -^ 3 du = Ajj,
(i-H'2aw)2
== Ag,
-^tangî^a / -^^ 4^" =
^0 (l-+-2aM)2
tang«^rt I ^ du = As, .
ou 1 on a supprime également le facteur --^^^ — alang:::^,
La première de celles-ci est de la forme
elle peut donc être évaluée exactement, et, si l'on observe
l que (i -H aai/) - ^m est la différentielle par rapport h u
de — -^^^ — — 7 on trouve
Al s= ^^ =1 an ...;
ce qui donne, âa étant moindre que i ,
I ï a* (i) 1 a<Ai<i an
Â2 étant égal au produit de Ai par un facteur connu qui est ici négatif, les limites de A^ se déduisent immédiatement de celles de A| et Ton obtient
(■2) itang'^„(i-?+|)<A,<-itang«;.„(,-f).
Dans A3 la fonction de m, —^ > qui entre eu
facteur sous le signe y, croît avec u et a par conséquent
— /n-aa= — (ï-t-a h...)
comme valeur minimum, et
=— (i — 2aH- 4a* — . ..)
comme valeur maximum^ donc, Tautre facteur s sous le signe f étant toujours positif, on peut écrire
--(i-f-a)/ s du <i X3<i~(i — 2 oi) I sdUy
ce qui donne, en remplaçant Tintégrale par sa valeur obtenue plus haut,
(3) (i-Ha)É< A5<— (i — -îa)^.
A4 étant le produit de A, par — ^tang-^^? on a ensuite îminèdiatement
(4) (i— 2«). ^ - tang2^a< A4<(i-ha)'£ -tangs^al
Ag , qui est comme A ^ de la forme i i {ii) rfu, rentre dans le type des quadratures ordinaires^ on peut l'évaluer exactement et, si l'on observe que (i-4-2aM) ^du est la
didérentielle par rapport à w,d^— - ^ r — - — » on trouve
ce qui donne, 2 a étant moindre que i ,
(.5) , i Ung^^.a (' -^ ^ — |-) < ^^< ; tangî^a ( I -H
Enfin, dans Ae, la fonction de m, '- — — ^j qui
(i-h2aw)* entre en facteur sous le signe y, est croissante avec u et a par conséquent
pour valeur minimum, et
pour valeur maximum; donc, Taulre facteur 5 sous le
(43 ) sigtie f étant toujours positif, on peut écrire
■ ■■'■■ . < A6<— -tang«^a(3 — 6a) f sdu, ce qui donne.
I <A6<— ^tang«^a(3 — 6a) ^.
Ajoutant maintenant, membre à membre, les inégalités
(i), (a), (3), (4)? (5), (6) et (7), après avoir rétabli
partout le facteur — a tang^^^ et posant, pour abréger,
. 6{8ooo r a / /a /\ .1
-^ atangz. |^,-.-^ + (^---.j tang^^.J = r,
a tangua
[a^-h/^la^-^iiaê -f- ? «2 Ê^itang^^al = §»
La\3 a2a/2°J
a tangua
il vient
r — 8<R'<r-H8', d'où
Ajoutant encore, membre à membre, les inégalités (a) et (A), on trouve enfin
— o<R--r<oH a/i -}- *2a 1 - j tangs^^,
et Ton voit que la valeur absolue de la diiïérence R — r
est moindre que le plus grand des deux nombres positifs
et
av'i -t-aa I i- j lang»^a==o>
lequel nombre a dès lors besoin d'être fixe, puisque c'est le seul dont nous ayons h tenir compte. Or, lorsque tangZtf est très grand ou Za très près d'un droit, on a évidemment S << S''^; et l'on s'assure qu'il en est toujours de même, quelque soit Za^ en faisant voir que Ton a
^a«-+-4a^ -f.5a«2 < 6(1 -f-9.a)« /êV, 3 a 2 a ^ \a/
ce qui est presque évident, car T inégalité
vérifiée dans le paragraphe précédent, entraine la suivante, a <^ -j et celle-ci donne
Ainsi, en résumé, /', c'est-à-dire
-^ atang^. [i---^ 4- tang«^« (^- - ^ ) J ,
représente une valeur approchée en plus ou en moins de la réfraction totale R, avec une approximation mar^ quée par
648000 \ a* P r ? /./ xi/p\n 1
En déterini liant, coiuuuî on vient de le fuicoy une limite 8" de rerreur que Ton commet lorsqu'on remplace la réfraction vraie R par la quantité /* <|ue nous avons choisie pour sa valeur approchée, on a seulement préparé la solution du problème, seul utile dans les applications, qui a pour but de fixer les conditions sous lesquelles il faut opérer pour que l'approximation obtenue soit de l'ordre des grandeurs négligeables. Occuponsnous maintenant de ce qui reste à faire à ce sujet.
Reprenons l'expression de l'erreur 8" et écrivons-la ainsi
o" = Atang«^rt-i- B'tang»^a+ B'tang'^a-H Gtang^s^* en posant
Les coedicients A, B, IV, C dépendront des quan^ tités a et p ou de Hq et To, et varieront par conséquent avec Tétat atmosphérique à l'instant et au lieu de l'observation. Cherchons les plus grandes valeurs qu'Us puissent prendre, et d'abord les plus grandes va-
leurs que puissent prendre a et - en s'imposant, bien
entendu, les conditions aux limites
o,63<Ho< 0,789; — 3o<To<5o
admises plus haut.
Toutes les notations et toutes les hypothèses dont on a fait jusqu'ici usage étant conservées, on sait que
| = />'o(i-+-'^To); d'où, quels que soient Ho et To,
