CAS D'UNE SEULE LAME CRISTALLINE
InteBsIié des vibrations éHMr^emBt de raaalyeear. — On imagine un faisceau de lumière parallèle et polarisée rectilignement, tombant normalement sur une lame cristalline à faces parallèles. On suppose d*abord que cette lumière est homogène, et que les vibrations en sont caractérisées dans l'air par une longueur d'ondulation égale à X et par une durée d'oscillation égale à T.
Soit AI (fig. 45) la direction de la vibration i \ du rayon incident; ko et Ae les deux direc-
I \ N^ tions perpendiculaires entre elles, suivant les-
! \ ^^ quelles vibrent les deux rayons réfractés. Si
I \ l'on représente par 1 le déplacement dû à la
^1 ^ vibration AI» et para Tangle de AI avec Ao,
p. le déplacement 1 se décomposant suivant les
deux directions Ao et Ae donne respectivement des déplacements égaux à cos a et à — sin a. Pour la commodité du langage, nous distinguerons les deux vibrations Ao et Ae en donnant arbitrairement à la première le nom de vibration ordinaire, à l'autre celui de vibration extraordinaire.
La vibration ordinaire se propage avec une vitesse tio, et si e est
l'épaisseur de la lame, — est le temps qu'elle mettra à la traverser,
tandis que la vibration extraordinaire emploie le temps - à faire le
même chemin. La vibration d'une molécule du rayon ordinaire est donc, à l'émergence, eu retard sur celle qui se produit à l'incidence d'une
quantité de temps égale à — •
Si le déplacement à Tincidence, évalué suivant la direction du déplacement, est, pour le rayon ordinaire, représenté par
$,, = cosasin 2xï«, il est représenté à l'émergence par
Ç^=cos a sin 2ir *'*
T • Pour le rayon extraordinaire, on trouve de même
7j^ = — sin a sin Sic ^^
Posons, pour simplifier l'écriture,.
0 et e sont des temps. Hais si l'on considère un milieu, tel que l'air, pour lequel on supposera la vitesse de propagation représentée par l'unité, 0 et e seront aussi les épaisseurs de ce milieu, que la lumière parcourt dans des temps respectivement égaux à ceux qu'emploie chacune des deux vibrations à traverser la lame cristalline.
Si d'ailleurs on appelle a la longueur d'onde que possède dans l'air l'espèce de lumière considérée dont la durée des vibrations est T, on aura X =i T, et les équations des deux vibrations pourront prendre la forme suivante :
S^=rcos a sin 2i: |-^îj, Yîg = — sin a sin 2^ (t""5")*
Lorsqu'on considère o et e comme représentant des temps, ils prennent le nom Ae phases on retards; lorsqu'on les considère comme représentant
2tco 2ic^ des longueurs, ce sont des différences de marche; les angles -— , —
sont des anomalies.
Au sorlir de la lame les deux vibrations cheminent dans Tair avec des vitesses égales, et sans changer, par conséquent, leurs phases relatives. Arrivées sur Tanalyseur, elles se composent de manière à donner deux vibrations dirigées suivant les deux sections principales Ao^ et ke^ de l'analyseur. Appelons (3 l'angle de la vibration koa (que nous supposerons être l'ordinaire, avec la vibration ordinaire Ao de la lame cristalline ; l'angle (3 sera compté dans le même sens que l'angle a.
La vibration ordinaire Ao^ est représentée par :
H^ = cos a ces P sin^T: (x "" ~ ) ~ siii a sin fî sin 2:: (^f "~ ^'j *
La vibration extraordinaire ke^ est représentée par :
H^ = — cos a sin P sin 2:: ( = — - j — sin a cos p sin 2:: f », — - j .
La première expression peut se hicttre sous la forme :
s^ = I cos a cos p cos 2?: - — sin a sin g cos 2z - 1 sin 2^ =-
— j cos a cos p sin 2?: - — sin a sin P sin 2::- 1 cos 2r «;•
et l'on voit immédiatement que l'intensité (ou la force vive moyenne de la vibration) est représentée par
lo = 1 cos a cos p cos 2z - — sin a sin g cos 2:: j
[0 el»
cos a cos p sin 2?: r — sin a sin P sin 2i:r 1 •
En effectuant ces calculs très simples, il vient :
0 — c (1) lo = cos' a cos' p -h sin* a sin* 3 — 2 cos a COS P sin a sin p cos2::— : — .
OU encore à cause de cos zi: — r— = 1—2 sin'Tr - —
U = cos* ia H- P) ^- sin 2a sin 2g sin» t: — r —
CIIAP. Y. LUMIÈRE PARALLÈLE. 157
On trouverait de même pour Tautre vibration :
U = sin* (a 4- P) — sin 2a sin 2^ sin« :: — —
Les intensités des deux rayons émergents sont, comme il était nécessaire, complémentaires i*une de Tautre.
DiscassioB des rormales préeédentes. — Si l'on considère en particulier l'un des rayons, Tordinaire par exemple, on voit que l'intensité dépend de deux termes dont le premier, cos* (a -h (3), ne varie qu'avec l'angle (a+ P) que font entre elles les deux vibrations de la lumière au sortir de l'analNsetir et du polariseur, ou, comme on le dit encore, avec Tangle que font entre elles les deux sections principales de l'analyseur et du poiariseur. Le second terme de l'expression qui donne lo, dépend au contraire de la grandeur relative de a et de (3, c'est-à-dire de l'angle que fait la section principale de la lame avec celle de l'analyseur.
Lorsque a -h (3 est égal à 90^ c'est-à-dire lorsque les sections principales de l'analyseur et du poiariseur sont à angle droit, cos (a-4-P) est nul, et l'intensité lo ne dépend que du 2« terme. Elle s'annule pour
sin2a=0 ou sin 2^ = 0,
c'est-à-dire lorsque Tune d^'sdeux section sprincipales de la lame coïncide avec la section principale de l'analyseur ou avec celle du poiariseur. L'intensiié est d'ailleurs la plus grande possible, toutes choses égaies, lorsque le deuxième terme est maximum, c'est-à-dire lorsque le produit sin 2a sinî2(3 est maximum, ou encore lorsque siii2a = sin2|3. La condition qui donne le maximum d'intensité est donc remplie lorsque la section principale de la lame est à 45® de chacune des sections principales de l'analyseur et du polarisaleur.
0 — e Le second terme de 1-, dépend encore de la valeur de sin*r -^ — • La
valeur de o — e est facile à connaître, car
Mo et u'e étant les deux valeurs du ra^on vecteur de la surface des vitesses
normales correspondant à la direction du rayon incident. Or, on sait que Ton a sensiblement (pages 118 et 122) :
0' et 6" étant les angles formés par le rayon avec les axes optiques du TTistal; on sait en outre que dans cette formule, il faut prendre le signe — quand le cristal est positif, le signe + quand il est négatif. Nous aurons donc approximativement :
On voit aisément que, dans Tordre d'approximation où nous nous plaçons, on peut assimiler —75— à '- ou à . On peut donc
écrire encore
o — ez=±e(\ — ^\ sin 0' sin 6"-
Pour simplifier récriture, nous poserons
Wo=s-» *'*=J,» ''«=Tî
les quantités n^ , ti» , Hc , qui sont rangées dans Tordre de grandeur croissante, sont appelées les indices principavx du cristal. On a alors
0 — c = ± i(ne — n^) sin 6' sin 6'. Lorsque
io « 1* ê*9
k étant un nombre entier quelconque, le second terme est nul, et Tintcnsité lo est constante, quelle que soit Torientation de la plaque. L'intensité ne dépend plus que de a + ^ ; elle est nulle lorsque l'analyseur et le polariseur sont croisés à angle droit. L'équation
— k OU — : sm0sui6'=ii:
peut encore s'écrire :
(hc— na)siii6'sin6''
aiAP. V. — LUMIÈRE PARALLELE. 159
On peut donc donner à la lame des épaisseurs telles que les phénomènes ne dépendent plus de Torientation de celle-ci. Toutes choses égales, ces épaisseurs forment une progression arithmétique dont la raison est
(ric — Ha) sin 0' sin O'
Le premier terme de cette progression est égal à 0. On peut satisfaire à la condition = 0 sans rendre nulle Té-
paisseur e de la lame ; il suflit, en effet, que l'un des deux angles
0' et B" soit nul, c'est-à-dire que la lame soit taillée perpendiculairement à un axe optique. Dans ce cas, la lame, quelle qu'en soit l'épaisseur, se comporte entre le polariseur et l'analyseur comme une substance monoréfringente.
Cas oA 1a Imniére laeldente n'est pas homogène. — Nous avons
usqu'ici supposé que la lumière employée était homogène. Il importe d'examiner le cas où elle est blanche.
On peut, on le sait, considércr^la lumière blanche comme formée par la superposition d'un nombre infini de lumières homogènes. Il suffit donc d'appliquer à chacune de ces lumières différentes la théorie qui vient d'être exposée. On trouve sans peine que la lumière qui sort de l'analyseur est divisée en deux faisceaux ; dans le faisceau ordinaire, l'intensité lo s'obtient en formant pour chaque couleur, de longueur d'onde X, le binôme
cos* (a 4- P) 4- sin 2a sin 2^ sin« x
et en le multipliant par une quantité t^ qui représente la proportion
de lumière, de longueur d'onde X, que contient la lumière blanche d*inlensitéégaleà 1.
On a donc pour l'intensité lo une expression de la forme :
1, z= ces» (a H- p) li 4- 1 U si n 2a sin 2p sin«ic ^?^ .
Le symbole S indique la somme d'un nombre infmi de termes correspondant à toutes les valeurs de X, D'après la définition même, 2t\ est
égal à 1 ; quant 5 Si sin 2a sin^P sin'TT -y- , on peut remarquer qu à
chaque valeur de X répondent des valeurs particulières de sin 2a sin 2|3, puisque les sections principales de la lame ne sont pas les mêmes, en général du moins, pour les différentes valeurs de À. Mais dans les cristaux où la dispersion est faible relativement à la double réfraction, et où, par conséquent, Tellipsoïde d'élasticité optique varie peu pour les
différents rayons colorés, le produit sin 2a sin 2(3 a sensiblement la même valeur pour tous les termes dç la somme, et Ton peut écrire :
I, = cos« (a -h P) 4- sin 2a sin 2g 2 (i^sin* x ^-y^).
On voit, sous cette forme que, pour des valeurs données de a et de (3, l'intensité se compose de deux parties ; lune, indépendante de la longueur d'onde, leprésente une certaine quantité de lumière blanche proportionnelle à la valeur de cos* (a-|-|3) ; quanta l'autre partie, elle représente la somme des intensités de diverses lumières colorées qui viennent compléter le faisceau, t La proportion de chacun des rayons
0 — e colorés est marquée pour chacun d'eux par i^ sin *7r — z — ; la somme
0 — e Il sin'TT — .— donne donc, au moyen de la règle empirique de
Newton, la teinte du faisceau. Le coefficient sin 2a sin 2^ indique l'intensité de cette partie colorée du faisceau, que la quantité de lumière blanche proportionnelle à cos* (a -f- p), vient ensuite laver plus ou moins de blanc.
Il résulte de là que la teinte du faisceau émergent ne dépend que de la quantité
A = 2éi, sin* x -; — •
Les positions respectives des sections principales du polariseur, de la lame et de l'analyseur, font varier seulement l'intensité du faisceau et la proportion de lumière blanche dont il est plus ou moins lavé.
Pour le faisceau extraordinaire, on aura de même :
ï, = sin* (a H- p) —A sin 2a sin 23, ou encore :
I, = sin* (a — g) + sin 2a sin 2g Zi^ cos«- ^-^ .
La teinte ne dépend que de la quantité liX cos'x ^, elle est plus
OU moins lavée de blanc» suivant les valeurs de a et de p.
Dlivcossion des formolefi danit les cas de la lomlère non
homoiféne. — Pour discuter la formule qui donne lo, nous supposerons successivement :
l^Que X -f- (3=0) est constant et que a varie d'une manière continue depuis 0 jusqu'à 2?:, ce qui revient à laisser fixe le polariseur et l'analyseur et à faire tourner la lame dans son plan;
2"" Que a restant constant, cù varie d'une manière continue, ce qui revient à laisser fixe le polariseur et la lame et à faire tourner Tanalyseur.
I ^ a -4- (3 = 0) est constant et plus petit que 90^. On a :
\o =cos=» b) 4- A sin 2a sin 2 (w — a) ,
L = sin' ta — A sin 2a sin 2 (w — a). Pour simplifier le langage, nous désignerons par M le terme
A sin 2a sin 2 (u) — a) .
II est aisé de voir que pour les 8 valeurs de <x
a = 0o, (I), 90^ 90» -4- w, 180», ISO^ + w, 270», 270» -f w,
on a M = 0 et par conséquent de la lumière blanche. Toutes les fois que M passe par zéro, il change de signe, et toutes les fois que M est négatif, la teinte est celle qui caractérise le rayon extraordinaire.
Dans la Çig, 46, les 4 secteurs non hachés dontTangle est m comprennent donc toutes les valeurs de ce pour lesquelles la teinte est celle que nous appellerons directe et qui est donnée par M positif. Les 4 secteurs hachés comprennent toutes les valeurs de a pour lesquelles la teinte est complémentaire. Pour toutes les directions qui limitent le s secteurs, la lumière est blanche.
Si Ton considérait le rayon extraordinaire, les secteurs blancs de la figure correspondraient à la teinte complémentaire, les secteurs hachés à la teinte directe.
CRISTALLOGRàPHIE, T. H. 11
Lorsque &)= 90, il u'y a plus de positions donnant la teinte complémentaire avec ie rayon ordinaire ni de positions donnant la teinte
9(Au
ISOItt
Fig. 46.
TT
directe avec le rayon extraordinaire. Mais alors pour « = 0 et a =-,
on a M = 0, et lo = 0, puisque le terme cos*(a-l- [6) est nul. La lame reste toujours de même teinte^ mais elle s'éteint lorsque Tune de ses sections principales est parallèle ou peipendiculaire à Tune des sections principales du polariseur ou de l'analyseur.
2^ a est constant; M s'animle pour
ce qui donne 4 positions de l'analyseur pour lesquelles la lumière est blanche.
Le terme M changeant de signe pour chaque valeur de &> qui l'annule, la lame présentera la teinte directe pour toutes les valeurs de (o
comprises entre oc et 90® H- «> ainsi qu'entre iSO*» -h « et 270<» -+- a ; elle présentera la teinte complémentaire pour les autres positions de l'analyseur (fig. 47).
On voit en résumé qu'une même lame ne peut présenter que deux
CBAI». V. — LUMIÈIiE PARALLÈLE. 163
teintes ; l'une, que nous appelons directe, est comprise dans la série des valeurs que peut présenter
et l'autre, que noua appelons complémentaire, est comprise dans la série des valeui-s que peut présenter
l)^2«^ coa» îc ^-^■
Icebell* ekroMaii«|Be d« n«wiob. — Lorsqu'un rayon de lumière blanche tombe presque normalement sur l'une deit Taces d'une lame mince non cristallisée, il chemine d'abord dans celle-ci. se réfléchit sur la face opposée et ressort au dehors en suivant, mais en sens contraire, uu chemin opposé à celui que suit le rayon èiaergeant. Il a acquis, en traversant la lame, un certain retard d, et la couleur que les phénomènes d'interférence communiquent à la lame est donnée pai* une expression de la forme
C'est ainsi que ac colorent les bulles de savon et les anneaux de Newton.
Si, dans la formule qui donne la teinte de la lame cristallisôe placée entre le polariseur et l'analyseur croisés, on supposait o — e constant pour toutes les couleurs, comme l'est d dans la formulo précédente, les deux formules seraient identiques, et les teintes seraient
les mêmes lorsque Ton aurait o — e = d. 11 n*en est pas rigoureusement ainsi, car on a vu que, pour la lame cristalline»
o — e = z [ric — Tia sin 0' sin 0",
et toutes les quantités /i^ w , 6', 6" dépendent elles-mêmes de 1.
Mais, dnns la plupart des cristaux, la dispersion des axes n*est pas très considérable; on peut donc, dans une première approximation, consi'ièrer o — e comme une constante et admettre que la teinte de la lame cristallisée, dans laquelle le retard moyen du rayon est 0 — 6, est identique à celle d'une lame mince isotrope d*é| aisseur égale à rf, lorsque o — e= d.
Newton a noté la succession des couleurs que prennent les lames minces isotropes lorsque d augmente graduellement; c'est ce qu'on appelle réchelle chromatique de Newton. Cette échelle donne donc également la succession des teintes que prend une lame cristalline, entre un polariseur et un analyseur, lorsque o — e varie progressivement. On trouvera dans le tableau ci-joint cette échelle, telle qu'elle est donnée par M. Billet, d'après Brûcke. Dans ce tableau, les teintes appelées directes sont celles qui sont observées avec une lame cristalline lorsque le polariseur et l'analyseur sont croisés ; les teintes complémentaires sont celles qui s'observent lorsque le polariseur et Tanalyseur sont parallèles.
On voit qu'il se fait périodiquement des récurrences de teintes analogues. On appelle ordre l'ensemble des teintes qui vont d'une couleur à une couleur analogue. On a ainsi les teintes du premier ordre, du deuxième ordre, etc.
Toute cette échelle de teintes peut être très aisément reproduite en se servant d'un parallélépipède de verre que Ton place entre deux pièces métalliques dont l'une est fixe et l'autre mobile au moyen d'une vis. En tournant la vis, on fait subir à la lame de verre une compression graduellement croissante. On a soin de placer entre le verre et le métal des bandes de carton ou de caoutchouc de manière à répartir uniformément la pression sur les bases du parallélépipède. La compression développe dans le verre la double réfraction, et si on le place entre deux niçois croisés, il montre, à mesure qu'on tourne Ja vis, toute la succession des teintes de l'échelle chromatique'.
*■ Wcrtheim s'est mi^me servi de ce phénomène pour mesurer la pression exercée sur un prisme de verre.
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