CHAPITRE I. — SUR LES PROPRIÉTÉS PHYSIQUES
en un point (x^y y^j z^) réel ou imaginaire, situe sur le rayon vecteur OAq, et pour lequel on a :
k est un coefficient réel ou imaginaire dont on trouvera plus loin la valeur.
Les axes de la surface (do) ont la même direction que ceux de Tellipsoîde (12). La longueur d'un axe de cette surface est égale à la racine carrée de l'axe de Tellipsoïde ayant la même direction. La surface (13) est un ellipsoïde lorsque les /c? sont de même signe; un hyperboloïde ou plutôt deux hyperboloîdes conjugués, dont l'un est
réel et l'autre imaginaire lorsque les '/& sont de signe différent. Le point (jTj, t/p z^) est réel lorsque la droite OA^ rencontre Thyperboloïde réel, il est imaginaire lorsqu'elle rencontre l'hyperboloïde imaginaire.
On appelle la surface (13) surface principale.
Désignant par m, n, p les cosinus des angles que fait avec les axes le rayon vecteur p^, et U l'angle, variant de 0" à iSO®, que fait la direction OA^ avec la direction correspondante OB, on a :
cosD=mm'-hnn'-i-pp'==mÇ + n|4-/»J=Po(x+ï + Ç)- L*équation de la surface (11) pouvant être mise sous la forme :
on trouve aisément :
(U) cos U = 1^,.
Pi
en se rappelant toujours que po est négatif lorsque Pi est imaginaire. On tire de là la valeur de k,
Pi^ 1
Po y/po COS U
k étaiit rëel lorsque p^ est réel, ou lorsque cos U est positif, et imagi-^ naire dans le cas contraire.
Appelons rla longueur réelle ou imaginaire de la normale Oa (fig. 2)
menée au plan qui est tangent en A^ à la surface (15), on aura :
r = p,cosU=^" = \/poCosU = i.
Prenons sur la direction OB (fig. 2) un point A' (a/y,2'), réel ou imaginaire,
et tel que :
on a m tire :
Fig. 1
'* V^Po CCS U
j = r T-*» et des expressions analogues pour n' et p' ; ou lmi
Va
iL — ZL—sf — C""
Élevant au carré» multipliant les trois équations par A,B,C, et ajoutant membre à membre, il vient :
ka^'-^hiT + C.-*=^* -^ T "^ ¥ = * •
Le lieu des points A' est donc une surface du 2* degré qui est un ellipsoïde lorsque A,B, C sont de même signe; un hyperboloîde, ou plutôt deux hyperboloïdes conjugués, l'un réel et Tautre imaginaire, lorsque A, B, C sont de signe différent. 11 est aisé de voir que cette surface n'est autre que celle qui, rapportée à trois axes rectangulaires quelconques
