DEUXIÈME SECTION
nn^ATATIOff THERMIQUE.
Théorie ipéaérttle. — Lorsqu'un solide se dilate sous l'action de la chaleur, les longueurs des axes de l'ellipsoïde de déformation deviennent
a, p, y^ étant les coefficients de dilatation suivant les directions de ces axes. L'observation montre que ces nombres sont toujours très petits. La surface inverse de l'ellipsoïde a pour équation
«•(l-ha)+y«(l-hP)4-2Mi + ï) = *f ou en coordonnées polaires :
Ona[éq. (17) — page 16] :
/^ 1 ypocosu
ou sensiblement, Tangle U étant toujours très petit :
Po
L*ëquation de la surface inverse est donc :
m'^ -h n'«p -{- j)'«Y = Po — * • Or p^ — 1 n'est autre chose que le coefficient de dilatation X suivant la direction p^ caractérisée par les cosinus m, n, p que l'on peut assimiler, toujours à cause de la petitesse de U, avec les cosinus m', n', p\
Si Ton pose
l'équation précédente devient donc :
CBISTAUOGRAFBII, T. U. 7
Si Ton y regarde l comme la longueur d*un rayon Yecteur dont la
direction est déterminée par les cosinus fii,.ny p, cette équation est celle
d'une surface du 2« degré dont "7=» "7^» "t= sont les axes. La direction
de ces axes est la même que celle des axes de rellîpsoîde de déformation.
La surface définie par cette équation est un ellipsoïde lorsque les trois dilatations a« (3, y sont positives. C*est un hyperboloîde à une nappe lorsque l'une seulement des dilatations est négative ; les dilatations suivant les génératrices du cône asymptotique sont nulles ; les dilatations suivant les directions comprises dans Tintérieur du cône qui comprend l'axe imaginaire sont déterminées par les rayons vecteurs de rbyperboloïde coiijugué à deux nappes imaginaires.
Lorsque deux dilatations sont négatives, Thyperboloîde réel est à deux nappes; la dilatation suivant les génératrices du cône asymptotique est encore nulle ; la dilatation suivant les directions comprises en dehors du cône asymptotique, . du côté des axes imaginaires, est déterminée par rbyperboloïde imaginaire à une nappe.
Lorsqu'on donne les dilatations a, (3, y suivant les trois axes principaux, la dilatation X suivant une direction qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont m, n, p, est donnée par la formule
La direction de ces axes est indiquée par celle des axes cristallographiques, sauf dans le cas des systèmes clinorbombique et anortbique. Dans le premier la direction d'un seul des axes est connue.
ExpériencM de M. Fixean. — Pour déterminer la dilatation d'un cristal , le procédé plus simple est de découper des prismes dans ce cristal suivant des directions déterminées par rapport aux axes cristallographiques. On mesure la dilatation du prisme suivant les différentes directions d'une même face, et l'on construit une courbe qui représente pour chacune d'elles la dilatation correspondante de l'unité de longueur. Cette courbe est une ellipse qui est l'intersection, par le plan de la face, de l'ellipsoïde des dilatations. En répétant les mêmes observations pour un certain nombre de prismes d'orientation diffèreate par rapport aux axes cristallins, on parviendra à connaître la grandeur des axes de l'ellipsoïde de dilatation, et leur orientation relativement aux axes cristallins. Tout le reste s'en déduira.
Fig. 21.
GHAP. UI. — PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 99
La difficulté de ces (Aservjiiions est considérable i cause de l'extrême petitesse de la grandeur à mesurer. M. Fizeau Ta surmontée en imaginant une méthode aussi ingénieuse qu'originale.
Une plaque de platine F (fig. 21) porte Urois tiges 1 1' t" également en platine et qui supportent horizontalement un plateau de verre V. Le cristal dont on veut étudier la dilatation suivant une certaine direction est placée sur le plateau P de manière que cette direction soit verticale et qu'entre la surface supérieure G' de ce cristal très légèrement convexe, et la surface inférieure du plateau de verre il n'y ait qu'une distance extrêmement faible. Tout l'appareil est plongé dans l'huile. Il se produit des anneaux colorés entre C et V. On note la position des anneaux observés, avec la lumière homogène de l'alcool salé, à une certaine température t; on élève la température qui devient tf^ la distance entre G' et Y varie, d'une quantité égale à la différence qui existe entre la dilatation des supports de platine et celle de la hauteur du cristal. Gette variation fait changer la position des anneaux; on mesure ce dernier changement, et on en déduit, par une formule connue, la dilatation du cristal, étant connue celle du platine. Ce procédé est extrêmement sensible, car les anneaux se déplacent d'une quantité égale à la distance qui sépare un cercle noir d'un cercle blanc lorsque la distance entre le plateau de verre et le cristal varie seulement
de I ^ 0«»-,000588.
Avant de donner quelques-uns des résultats des observations de M. Fizeau, il faut dire quelques mots sur les notations dont il fait usage. Si l^ est une certaine longueur mesurée dans le corps à une certaine température prise pour zéro ; à la température U elle devient /^, on pose :
/,=:Zo(i-HA«4-Ba en se contentant, à cause de la petitesse des coefficients A, B, de l'approximation donnée par les termes du second degré en U Par une différenciation, on trouve :
dL
i dl^
- «j est le coefficient de dilatation a^ à la température (.
100 DEUXIÈME PAKTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PUYSIOUE.
Les tableaux de M. Fizeau, que l'on peut trouver dans V Annuaire du Bureau des longiludes (1880, p. 005 et suiv.), donnent les deux quanlilt'>
Aa
a4o==A4-2Bx40, --- = 2B.
AO
Si l^, représente la température à t\ et /^ la température à i d'une ré^^Io
dont la longueur est parallèle à un* axe des dilatations, on aura, en négligeant les termes qui contiendraient les puissances supérieures, do A ou de B,
1—1 rz: A (< - r) H- li [t^- — n = (^ — q [A 4- B (/ -h V)\
ou, en substituant les coefficients mêmes de M. Fizeau.
Voici quelques-uns des nombres donnés par M. Fizeau^; le cliiffro des unités représente des chiffres décimaux occupant le huitième rang après la virgule :
Aa
SYSTÈME CUBIQUE. a,-
