CAS D'UNE SEULE LAHE CRISTALLINE

Intensité des vlbrntioBs émergeant de l'nnalysear. — On imagine un faisceau de lumière parallèle et polarisée rectilignement, tom-

. bant normalement sur une lame cristalline à

/ ^ faces parallèles. On suppose d*abord que cette

lumière est homogène, et que les vibrations en sont caractérisées dans l'air par une longueur d'ondulation égale à X et par une durée d'oscillation égale à T.

aiy >.^ Soit AI (fig. 45) la direction de la vibration

t \ ^ du rayon incident; Ao et ke les deux direc-

I \ ^ .^ tions perpendiculaires entre elles, suivant les-

! \ ^a. quelles vibrent les deux rayons réfractés. Si

i \ l'on représente par 1 le déplacement dû à la

,| ^ vibration AI, et par a l'angle de AI avec Ao,

p. le déplacement 1 se décomposant suivant les

deux directions Ao et ke donne respectivement des déplacements égaux à cos a et à — sin a. Pour la comma> dite du langage, nous distinguerons les deux vibrations Ao et ke en donnant arbitrairement à la première le nom de vibration ordinaire, & l'autre celui de vibration extraordinaire.

La vibration ordinaire se propage avec une vitesse Ko, et si e est

l'épaisseur de la lame, — est le temps qu'elle mettra à la traverser,

tandis que la vibration extraordinaire emploie le temps - à faire le

même chemin. La vibration d'une molécule du rayon ordinaire est donc» à l'émergence, en retard sur celle qui se produit à l'incidence d'une

quantité de temps égale à — *

CUAP. Y. — LUMIÈRE PARALLÈLE. i55

Si le déplacement à Tincidence, évalue suivant la direction du déplaeemeat, est, pour le rayon ordinaire, représenté par

Ç^i=cosasin 2tc=, il «t représenté à l'émergence par

Ç^=cos a sin 2z— ^.

Pour le rayon extraordinaire, on trouve de même

iQ^ = — sin a sin 2w "^-

Posons, pour simplifier l'écriture.

oete sont des temps. Mais si l'on considère un milieu, tel que l'air, pour lequel on supposera la vitesse de propagation représentée par runité, 0 et e seront aussi les épaisseurs de ce milieu, que la lumière parcourt dans des temps respectivement égaux à ceux qu'emploie chacune des deux vibrations à traverser la lame cristalline.

Si d'ailleurs on appelle a la longueur d'onde que possède dans l'air l'espèce de lumière considérée dont la durée des vibrations est T, on aura 1 = T, et les équations des deux vibrations pourront prendre la forme suivante :

Ç^-cos a sin 2t: (îf^-r)»

ïî^ = ~ sin a sm

Lorsqu'on considère o et e comme représentant des temps, ils prennent le nom de phase9 ou retardé; lorsqu 'on ies considère comme représentant

2ico i%c des longueurs, ce sont des différences de marche; les angles -— , —

sont des anomalie$.

i:>6 DEUXIËHB PARTIE. — CRISTALLOGRAPUIE PHYSIQUE.

Au sortir de la lame les deux vibrations cheminent dans l'air avecdes vitesses égales, et sons changer, par conséquent, leurs phases relatives. Arrivées sur l'anulyseur, elles se composent de manière à donner deux vibrations dirigées suivant les deux sections principales Ao^ et Ae^ de l'analyseur. Appelons p l'angle de la vibration Ao^ (que nous supposerons 6lre l'ordinaire, avec la vibration ordinaire Ao de la lame cristalline; l'angle p sera compté dans le même sens que l'angle ».

La vibration ordinaire Ao, est représentée par :

E(,=jCOS acosgsin2::( = — r) — sin« sin ^ sin i% {t~~^)' La vibration extraordinaire Ae, pst représentée par :

l.a première expression peut se mettre sous la forme :

s^ = rco3 a (os^cosaK^sinasin0cos2!:MsiD2s:sr

— I CAS s coÂ ^ sin Ss- — sin ot sin 3 sin in- IcosSr st

et l'on voit immédiatement que l'intensité (ou la force vive moyenne de la >ibralian) est représentée par

i.=rc«si

iasin3cM2::jJ'

coï^si.. fe"si

nïsingsinSîTrT-

EnefTecluint ce- r.i

Iculs très simples

. il vient :

) L=««'.co,-..-

sinixsin*^ — ^Gosacos^sinasin^cd

■ «OCOMl «..<..!, .

2sin«r*-p

x-t-f-) +s«i>4Bi»n2^sin*E — r—

CIIAP. V. • LUMIÈRE PARALLÈLE. 157

On troQTerait de même pour Tautre vibration :

0 ^— c \e = sin« (a -f- P) — sin 2a sin 2g sin« :: — : —

Us intensités des deux rayons émergents sont, comme il était nécessaire, complémentaires Tune de Tautre.

laaioB des fomnles précédentes. — Si Ton considère en particulier Fundes rayons, Tordinaire par exemple, on voit que Tintensitë dépend de deux termes dont le premier, cos* (a + |3), ne varie qu'avec l'angle (a + P) que font entre elles les deux vibrations delà lumière an sortir de TanalNseiir et du polariseur, ou, comme on le dit encore, nec l'angle que font entre elles les deux sections principales de l'analyseur et du polariseur. Le second terme de l'expression qui donne !«, dépend au contraire de la grandeur relative de a et de jS, c'est-à-dire de l'angle que fait la section principale de la lame avec celle de l'analyseur.

Lorsquea + P est égal à 90^, c'est-à-dire lorsque les sections principales de l'analyseur et du polariseur sont à angle droit, cos (a + P) est nul, et l'intensité I« ne dépend que du 2" terme. Elle s'annule pour

sin Sa = 0 ou sin 2^ = 0,

c'est-Mire lorsque l'une d^s deux section sprinci pales de la lame coïncide aTec la section princip:ile de l'analyseur ou avec celle du polariseur. L'intensité est d'ailleurs la plus grande possible, toutes choses égales, lorsque le deuxième terme est maximum, c'est-à-dre lorsque le produit sio 2a sinSp est maximum, ou encore lorsque sia2a = sin2j3. La condition qui donne le maximum d'intensité est donc remplie lorsque la section principale de la lame est à 45* de chacune des sections principales de fanalyseur et du polarisateur.

0 — e U second terme de I^ dépend encore de la valeur de sin';: — z — • La

valeur de o —« est facile à connaître, car

tt« et u^ étant les deux valeurs du ra\on vecteur de la surface des vitesses

158 DKUXIKME PARTIE. — CIUSTALLOGUAPUIE PHYSIQUE.

normales correspondant à la dircclion du rayon incident. Or, on sait que Ton a sensiblement (pages 118 et \22) :

0' et 0" étant h's angles formés par le rayon a\(»c les axes optiques du eristal; on sait en outre que dans celte formule, il faut prendre le signe — quand le cristal est positif, le signe -f- {|uand il est négatif. Nous aurons donc approximativement :

o — c—-±z = ±:£— Ï-— suiO sm 0 •

On voit aisément (jue, dans Tordre d'a[)proximation où nous nous

plaçons, on peut assimiler — 77— à ou à . On peut donc

écrire encore

i{ sinO sniO *

Pour simplilier l'écriture, nons poserons

les quantités n„ , tii, , //, , qui sont langées dans l'ordie de grandeur croissante, sont appelées les indicca jirincijKivx du cristal. On a alors

o — 6' - zh £(/»,• — /'„) sin 0' sin 0' . Lorsque

/. étant un nombre entier quelconque, le second terme est nul, et Tintensité I© est constante, quelle (|ue soit l'orientation de la plaque. L'intensité ne dépend plus que de a -h (3 ; elle est nulle lorsque Tanalyseur et le polariseur sont croisés à angle droit, l/équation

A (Ml — : sni 0 smO = «

p(iut encore s'écrire :

(wc — «jjsinO'sinO'

CHAP. Y. ~ LUHIÊnE PARALLELE. i59

On peut donc donner à la lame des épaisseurs telles que les phéno^ mènes ne dépendent plus de l'orientation de celle-ci. Toutes choses égales» ces épaisseurs forment une progression arithmétique dont la raison

est

[ne — ««) sind'sin d'

Le premier terme de cette progression est égal à 0. On peut satisfaire à la condition — — = 0 sans rendre nulle Té-

paisseur e de la lame; il suffit, en effet, que l'un des deux angles 9 et 6" soit nul, c'est-à-dire que la lame soit taillée perpendiculairement à un axe optique. Dans ce cas, la lame, quelle qu'en soit l'épaisseur, se comporte entre le polariseur et l'analyseur comme une substance monoréfringente.

Cm •* la iHBilére In^dente n'est pwm homogène. — NouS avons

osqu'ici supposé que la lumière employée était homogène. Il importe d'examiner le cas où elle est blanche.

On peut, on le sait, considércr^la lumière blanche comme formée par la superposition d'un nombre infini de lumières homogènes. Il suffit donc d'appliquer à chacune de ces lumières différentes la théorie qoi tient d'être exposée. On trouve sans peine que la lumière qui Mrt de l'analyseur est divisée en deux faisceaux ; dans le faisceau ordinaire, l'intensité lo s'obtient en formant pour chaque couleur, de longueur d'onde X, le binôme

cos* (a + P) -f- sin 2a sin 2^ sin* x

et en le multipliant par une quantité t^ qui représente la proportion

de lumière, de longueur d'onde X, que contient la lumière blanche d mtensité égale à 1.

On a donc pour l'intensité U une expression de la forme :

1, = cos« (a + P) 2r -f- 1 (i^sin 2a sin 20 sin*ic ^-j-^\ .

Le symbole S indique la somme d'un nombre infini de termes corres*pondant à toutes les valeurs de X, D'après la définition même» Zt^ est

^gal à 4 ; quant à li sin 2« sin 2^ sin'ir — r- . on peut remarquer qu'à

ISO »tUXli!»E PARTIE. — CRlSTiLLOGRAPHIE PHYSIQUE.

RhaquevaleurdeXrëpondent des valeurs par1iculiér«sdesin 2a sin Sj3, puisque les sections principales de la lame oe sont pas les mêmes, en général du moins, pour les difTèrentes valeurs de X. Hais dans les cristaux où la dispersion esl Taible relativement à la double réfraction, et où, par conséquent, t'ellipsoide d'élasticité optique varie peu pour les différents rayons colorés, le produit sin 2st sin 3^ a sensiblement la même valeur pour tous les termes de la somme, et l'on peut écrire :

i' {» + P) + sin U sin 2?2 A sin» s "—X

On \oil, sous cette fdnne que, pour des valeurs données de a et de p, rinlensilé se compose de deui parties; l'une, indépendante de la longweur d'onde, leprésente une certaine quantité de lumière blanche propoiiioaDeUi? à la Taleur de cos=(a + ^); quanti l'autre partie, elle r^»réscnt« la somme des intensités de diverses lumières colorées qui viennent compléter le faisceau. La proportion de chacun des rayons

o — e colorés rst marquée pour chacun d'eux par i^ sin -ir — r — ; la somme

£j ^in'* . donne donc, au moyen de la régie empirique de

Ne«loa, la teinte du futeeau. Le coeffident sio îot sin 3^ indique l'inhasilè de cWle partie colorée du faisceau, que la quantité de lumière bJMfht profMliooBeUe à c«s' (x + jS), vient ensuite laver plus ou maitts de blanc.

Ilrv^n I^ âe U qœ la teinte du faisceau émergent ne dépend que de

Les posilioDS rre^pecti»» des s«>cIions {w-iacipjles du polarîseur, de la l»m& H de '«nah'srur. font varier seulerot>iit Tintensilé du faisceau pwp-Tlion fip. ,lumi<Tf blancite dont il est plus ou moina

iaw,

r-'-iir I,

f*4m f^trncwdinairf, «• aura if anême :

CBAP. Y. — LUMIÈRE PÂRALLËLE. i 61

La teinte ne dépend que de la quantité St'X cos^— — , elle est plus ou moins lavée de blanc, suivant les valeurs de a et de ^.

Mflcassion des fformples dans les eas de la imniére non

hoHMgéne. — Pour discuter la formule qui donne le» nous supposerons successivement :

l*Que a -f- j3=&) est constant et que a varie d'une manière continue depuis 0 jusqu'à Stt, ce qui revient à laisser fixe le polariseur et l'analyseur et à faire tourner la lame dans son plan ;

2<^ Que a restant constant, g) varie d'une manière continue, ce qui relent à laisser fixe le polariseur et la lame et à faire tourner l'analyseur.

!• a-h P = w est constant et plus petit que W.

On a :

1, =cos* (I) -H A sin 2a sin 2 (w — a) ,

I, = sin* ta — A sin 2a sin 2 (w — a).

Pour simplifier le langage, nous désignerons par H le terme

A sin 2a sin 2 ((o — a] .

Il est aisé de voir que pour les 8 valeurs de a

a=0^ œ, 90^ 90o-f-w, iSO®, iSO® -h w, 270^ 270» + (0.

on a H = 0 et par conséquent de la lumière blanche. Toutes les fois que M passe par zéro, il change de signe, et toutes les fois que H est négatif, la teinte est celle qui caractérise le rayon extraordinaire.

Dans la fig, 46, les 4 secteurs non hachés dont l'angle est o) comprennent donc toutes les valeurs de oc pour lesquelles la teinte est celle que nous appellerons directe et qui est donnée par M positif. Les 4 secteurs hachés comprennent toutes les valeurs de a pour lesquelles la teinte est complémentaire. Pour toutes les directions qui limitent le ib secteurs* la lumière est blanche.

Si Ton considérait le rayon extraordinaire, les secteurs blancs de la figure correspondraient à la teinte complémentaire, les secteurs hachés à la teinte directe.

CEISTALLOGRAFBIE, T. U. 11

Lorsque o)= 00, il iiy a plus do posilions doniianl la leiutc coinplémentairo avrc le rayon ordinaire ni de posilions donnant la leinle

iiL'. ic.

dirci:lo nvo(: le ravon oxhaoï'dinaii'e. Mais aloi's pour a = 0 cl y. =- .

on a M =:= 0, tîl I.. = n, j)uisfjuo le ternie cos'(a -h fj) est nul. J.a lame i'eslc toujours de nuMuc teinte, mais elle s'êleint lorsque runc de ses sections princii)ales est parallèle ou per[)eudiculaire à Tune des sections piincipales du polariseur ou de l'analyseur.

2*^ CL est constant:

M s'annule [iouj-

!Ml" ->- a.

i^il'' -'- a, -jTn" -i- a.

(^e (jjii (loiU!;' \ [M)silioi)s de l'analyseur pour lesquelles la lumière est Manche.

Le terme M chan^^^eant de signe [xhu* cliaijue valeur de w cpii l'annule, la lame {)résenlera la teinte direcle pour toutes les valeurs de co

i:ompris('S entre a et 00" ~\- a? ainsi (jn'enlre 180" -f- oc cl '270'^ + «; ellt' pi'èsenlera la teinte complémentaire pour les autres positions de l'analyseur (fig. 47 .

On voit <'n lèsiimè ([u'une luèmc hune ne jieut présenter »[ue deux

CUAP. V. — LUKTÈhE PASALIÊLE. 1«3

leiates; l'une, que nous appelons directe, est compriee dons la sëric dei laleurs que peut prèsenler

A = ïîj lia* K —r—.

Rwlt dxree

ais+4.

el l'autre, que nous appelons complémeataire, est comprise dans la série des valeurs que peut présenter

B~Si^ C4)s« r, ^-^-

teh«ua ^ropiBtl«M« de Ncwtoa. — Lorsqu'un rayon de lumière blanche tombe presque normalement sur l'une de^ faces d'une lame mince non cristallisée, il chemÏDe d'abord dans celle-ci, se réfléchit sur la Tiice opposée et ressort au dehors en suivant, mais en sens contraire, un chemin opposé à celui que suit le rayon émergeant. Il a acquis, en traversant la lame, un certain retarda, et la couleur que les phénomènes d'interférence communiquent à la lame est domiée par une expression de la forme

C'est ainsi que se colorent les bulles de savon et les anneaux de îfewton.

Si, dans la formule qui donne la teinte de la lame cristallisée placée entre le polariseureiranalyseur croisés, on supposait o — e coQslant pour toutes les couleurs, comme l'est d dans la formnli' précédente, les. deux formules seraient identiques, et les teintes seraient

les mêmes lorsque Ton aurait o — e = d. 11 n'en est pas rigoureusement ainsi, car on a vu que, pour la lame cristalline,

o — c = s (îJc — ria) sin 0' sin 0",

et toutes les quantités n^, n , 9', 6" dépendent elles-mêmes de )..

Mais, dans la plupart des cristaux, la dispersion des axes n*est pas très considérable : on peut donc, dans une première approximation, consiHèrer o — e comme une constante et admettre que la teinte de la lame cristallisée, dans laquelle le retard moyen du rayon est 0 — e, est identique à celle d'une lame mince isotrope d'épaisseur égale à d, lorsque o — e= d.

Newton a noté la succession des couleurs que prennent les lames minces isotropes lorsque d augmente graduellement; c*esl ce qu'on appelle réchelle chromatique de Newton. Cette échelle donne donc également la succession des teintes que prend une lame cristalline, entre un polariseur et un analyseur, lorsque o — e varie progressivement. On trouvera dans le tableau ci-joint cette échelle, telle qu'elle est donnée par U. Billet, d'après Brûcke. Dans ce tableau, les teintes appelées directes sont celles qui sont observées avec une lame cristalline lorsque le polariseur et l'analyseur sont croisés ; les teintes complémentaires sont celles qui s'observent lorsque le polariseur et l'analyseur sont parallèles.

On voit qu'il se fait périodiquement des récurrences de teintes analogues. On appelle ordre l'ensemble des teintes qu? vont d'une couleur à une couleur analogue. On a ainsi les teintes du premier ordre, du deuxième ordre, etc.

Toute cette échelle de teintes peut être très aisément reproduite en se servant d'un parallélépipède de verre que Ton place entre deux pièces métalliques dont l'une est fixe et l'autre mobile au moyen d'une vis. En tournant la vis, on fait subir à la lame de verre une compression graduellement croissante. On a soin de placer entre le verre et le métal des bandes de carton ou de caoutchouc de manière à répartir uniformément la pression sur les bases du parallélépipède. La compression développe dans le verre la double réfraction, et si oh le place entre deux niçois croisés, il montre, à mesure qu'on tourne la vis, toute la succession des teintes de l'échelle chromatique'.

* Wertheim s'est môme servi de ce phénomèiie pour mesurer la pression exercée sur un prisme de verre.

CHAP. y. - LUMIÈRE PARALLÈLE.

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