SYSTÈME BINAIRE

Lorsqu'on reconnaît un plan de symétrie et un seul, le cristal appartient au système binaire, et il est holoédrique : car l'antihémiédrie non holoaxe ne paraît pas être réalisée par la nature. S'il y a un axe binaire et un seul, et si cet axe binaire n'est accompagné ni d'un centre ni d'un plan de symétrie, le cristal appartient au mode hémiédrique holoaxe, à deux formes conjuguées non superposables, du système binaire. La forme conjuguée est droite quand, en regardant le cristal dans la position qui lui est ordinairement assignée, la face supérieure conservée est à droite de l'observateur. En général toutes les formes conjuguées d'un même cristal hémiédrique sont à la fois ou toutes gauches ou toutes droites ; suivant le cas qui se présente, le cristal est appelé gauche ou droit.

Pour déterminer la forme primitive, dans ce système, il faut calculer o quantités qui sont : 1° les 2 rapports de deux paramètres a et c au troisième b; 2^ l'inclinaison de l'axe des Z sur l'axe des X.

Cas particuliers remarquables. — I. Supposons connus les angles

Fig. 266.

mutuels de 3 pôles ?,V\F' (fig. 266) situe's sur la même zone, et V angle d'un quatrième pôle Q avecY, ou ce qui revient au même, puisque QQ'=2Py, l'angle de Q avec son symétrique (ï par rapport à Taxe binaire.

Dans la zone YQ qui rencontre XZ en g, et PP" en Qj, on connaît YQ et Yg 90, on peut donc, au moyen des formules de la page 33 cal-

n^ PREMIÈRE PARTIE. - CRTSTÂLLOGRÂPHIE GÉOMÉTRIQUE.

culcr YQi. Dans la zone PP", qui rencontre XY, ZY, XZ enTr, tt', tt", on peut de même calculer Ptt, Ptt' Ptt" et Q^'. Le triangle rectilatère YQ^tt" où Ton connaît YQi et Qltt'' donne l'angle i:"YQr On peut donc placer sur la sphère tt'' elOnCe qui détermine la position du grand cercle PP". Les angles Tr^îî'^ît'V fixent la position respective des axes YX et YZ, et les

paramétres des axes se déduiraient aisément de la position des pôles / II

II serait aisé de substituer aux calculs une construction graphique sur laquelle nous n'insisterons pas.

IL On donne la distance d'un pôle P aux 5 pôles X, Y, Z (fig. 267). Les triangles reclilatères PYZ et PYX donnent les relations :

rjg. 267.

Fig. 268.

cos PYZ = cos PZ coséc PY ces PYX = ces PX coséc PY,

qui font connaître PYZ et PYX et par conséquent H = ZX = PYZ-4-PYX. Pour déterminer les paramètres on se sert des équations :

iMl'ï

sinZX sinPYX"~sin PYZ*

On pourrait substituer une construction graphique au calcul. On commencerait par construire PYZ en prenant (fig. 268) rYs=PZ, sYi^PY, menant par un point quelconque r de Yz une perpendiculaire rs à Y set la prolongeant jusqu'à la rencontre avec Yf ; le point d'intersection u du cercle ayant Y pour centre et Yr pour rayon avec la perpendiculaire menée en t A Yt, détermine un angle wYlJsaPYZ. On

f CHAPITRE XV. — CALCULS CRISTALLOGRAPHIQUES. 265

construirait de même PYZ. Les directions des axes YX et Yr ainsi que celle de YP étant connues, on déterminerait la position de P en

prenant YP^fgfPY. Les coordonnées de P égales à ^ a et ? 7 donneraient les paramètres a et 7.

m. On donne les symboles de deux pôles P el Q, ainsi que les angles de ces pôles entre eux et avec Y (ùg. 269).

Fig. 2ti9.

Soit r {ûg, 269) Tintersection de la zone PQ avec ZX; tt et tt' les intersections de ZX avec YP et YQ.

Dans le triangle PQY de la projection gnomonique les longueurs PY et QY sont égales à tgVY et tgQY, YPQ == 180 — Trr et PQY = ttV ; on en déduit sans peine la relation :

tgPY__ sinffV tgQY""" sinirr'

d'où Ton déduit n et tt' après avoir, \dans le Iriangle PQY, dont on connaît les 3 côtés, calculé Tangle PYQ=:7r7r'==7rr — ir'r. Dans la zone ZX, où l'on connaît les distances angulaires des 3 pôles tr, tt', r, de symboles connus, on calcule ttX et ttZ, d*où Ton déduit XZ. Les paramétres a et p s'obtiennent ensuite facilement, puisque les positions de P et Q par rapport aux axes sont connues.

Cas particuliers qui se rencontrent le pins habltaellement dans la pratique. — Pour examiner le problème tel qu'il se présente habituellement dans la pratique, on supposera donné un cristal quelconque, dont on se propose de chercher la forme primitive et les symboles des faces. Il peut se présenter plusieurs cas.

I. Le cristal ne ponsède aucune forme dont les pôles se trouvent dans la zone du plan de symétrie,

im PREMIÈRE PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE.

On peut lôiïjours prendre deux formes dont les pôles ne se trouvent pas dans une môme zone passant par Y; on appelle (C\g. 270) Tune m

hloL Taulre e' joiij. Si l'on se donne ensuite les angles :

e*c? par dessus Y = 2e* Y, mm id. = 2wiY ,

me* par dessus d-,

Qn aura :

0L = igmY •>f = lge«Y,

Fig. 270.

et la résolution du triangle e*mY, dont les 3 côtés sont connus, donnera rangIee'Ym=:ZX.

Après avoir choisi arbitrairement la forme m, on pourrait donner à la

seconde forme le symbole d« j IH | ou &« | Til j- Le triangle d^Ym

où les 3 côtés devraient être connus, donnerait les angles d^Ym et

md^Y, Dans le triangle rectilatère d*YZ, on connaîtrait Yd^Z = \SO

— md*Y ei rf*Y; on pourrait donc calculer ZY<^, ce qui permettrait

de connaître ZX = ZYd~^ -|-d« Ym. On aurait enfin

7 sin f/* Ym sin

(ZX — rf^Ym) sinZX

CBAPITUE XY. ^ CALCULS CRISTALLOGRAPHIQUES. 267

II. Une forme existe dans la zone du plan de symétrie. On appelle celte forme p ou ¥. Il faut ensuite faire appel à une autre forme simple, dont la zone ne se confonde pas avec celle de la première. Cette nouvelle forme est appelée m ou e^ suivant que la première forme a été appelée p ou h^. Supposons, pour fixer les idées, que la première forme ayant été nommée p, la seconde soit nommée m; on aura dans le triangle rectilatère pYm :

ces wîZ = sin m\ ces ZX,

ce qui déterminera ZX étant connus mZ et mY. Dans la zone XY on aura d'ailleurs

a =^ ig mY.

Il ne reste donc plus à trouver que 7, et pour y arriver, il faut s'adresser à une troisième forme, dont la zone ne se confond pas avec celle de la seconde.

1** Si la zone de la troisième forme se confond avec ZY, on l'appelle eS et Ton a :

Y = tge»Y.

2° Si la zone de la troisième forme se confond avec Tune des zones ml, on la note d* ou b^^ suivant que le pôle vient tomber dans l'angle aigu ZX ou dans l'angle obtus ZX. Supposons le premier cas, on aura :

.tgd^Y

sin d^

sin

qui

détermine dhz

; et :

\gdU

sin(zx -