II

64a TRAITÉ

Fexpressidn du côté li sera 1 2 , et celle de la hauteur G -du prisme sera 3a.

U s’agit maintenant de retrouver, dans les traits du dessin que présente la figure considérée i^léinent, la marche qui a été suivie pour le produire. Je prends d’abord la copie de ce dessin, à laquelle je donne de plus grandes dimensions, ainsi qu’on le voit (fig. 63), pour mettre plus d’exactitude dans l’opération. Je mène ensuite, comme à l’ordinaire, les lignes ii\ kk', mm\ qui coïncident avec les arêtes longitudinales du prisme, et je les coupe perpendiculairement par la ligne or, située à la jonction des plans de projection horizontale et verticale.

Je prends un carton mince, et je le découpe de manière à y faire naître deux hovàs jrg^yt ( fig. 65), ihclinés entre eux de 1 14**. Je prends sur ces bords deux parties yd^yni' qui soient entre elles dans le rapport de i3 à 12, et je mène la ligne m"n'. Je découpe un second carton sous un angle m'g (fig. 66) de 148**, qui est le supplément de rnl'iï'y (fig. 65). Supposons pour un instant que le quadrilatère 1234 (fig. 64) n’existe pas, et que le point i soit déte^ miné à volonté sur la ligne If' \ je pose l’angle/ ( fig. 65) sur ce point pris pour centre, et lui conservant une position fixe, je fais tourner le carton autour de ce même angle, jusqu’à ce que les parties des horàsyg^yty interceptées l’une par les ligues If , zm', et l’autre par les ligues æi', soient à peu près égales. Cela fait, je place le second carton rn^

( fig. 66 ) sur le premier , de manière que n'g' coïncide avec ng (fig. 65). Je continue le mouvement de rotation du premier carton , en inclinant peu à peu le côté yg ( fig. 65 ) vers la droite , pour alonger sa partie interceptée, tandis que celle du côté yt se raccourcit , et en même temps je fais mouvoir doucement de bas en haut le côté n'g' du second carton le long du càtéyg du premier. J’arrive à un terme où les points d’intersection de la ligne rn' (fig. 66), avec les bords yg ,yt (fig. 65) rencontrent les lignes zm'y xi' (fig. 64); ces points d’intersection qui sont indiqués par les points n, /ra(fig. 65), me donnent les longueurs que doivent avoir les côtés i4, 12 (fig. 64) de la projection horizontale. Il m’est facile de vérifier l’opération en traçant la ligne mn , et eu m’assurant si elle est parallèle à m"n'.

La projection horizontale étant tracée , je construis la projection verticale 234, a'3'4^ (fig. 63), d’après la dimension connue de la hauteur 2' 2. Je la relève à l’aide de la construction que renferme le triangle vî^fz (fig. 64), dans laquelle est la quantité que je choisis pour le relèvement des points 1', i (fig. 63), et les autres lignes cr^r et les quantités relatives à celui des points indiqués sur les mêmes lignes.

Grenat trapézoïdal (fig. 67).

Je partirai, comme dans la plupart deS exemples qui précèdent, de la projection de la forme ÿ)rimi-

live, telle qu’on la trouve dans le Traité. Celte projeetiou est , dans le cas présent , celle du dodécaèdre idiomboïdal représenté (iig. 68), 'et dont Paie, qui est situé verticalement, passe par deux des angles solides composés de quatre plans. La marche à suivre pour la retracer s’annonce comme d’elle-même par les caractères d’uniformité et de symétrie dont la .cristallisation a marqué le dodécaèdre dont il s’agit.

Un coiip-d’oeU jeté sur la figure suffit pour concevoir que les petites diagonales des quatre rhombes couligus au sommet supérieur i , et celles des quatre autres contigus au sommet inférieur i4; composent deux carrés dont les plans sont perpendiculaires à l’axe, et que les grandes diagonales des quatre rhombes compris entre les précédons ffirment de même un carré situé perpendiculairement à l’axe. De plus, telles sont les positions respectives de ces carrés, que si les deux premiers se meuvent parallèlement à eux-mêmes en allant vers le centre, ils finiront par se trouver inscrits ^ns le troisième.

Ce résultat est réalisé par la 6gure 69, dans laquelle le point fjt. est la projection horizontale des points 3, Il (fig. 68), le point J'(fig. 69), celle du ])oint 6 (fig. 68), et ainsi des autres points de la même projection , dont il est aisé de faire le rapprochement avec ceux qui leur correspondent sur la figure 68 , à l’aide des chiffres qui sont communs aux uns et aux autres. Quant aux sommets 1 , 1 4 , il est

évident que leurs projeclions horizontales se confondent en un même point o’ ( Hg. 6g ) situé au centre commun des deux carrés.

Pour avoir la projection verticale du dodécaèdre, je commence par tracer les lignes ii\ M', etc. , parallèles à l’axe , et la section or des deux plans de projection. Je considère que les plans des trois carrés dont j’ai parlé ci-dessus sous-divisent l’axe en trois parties égales. De plus, la longueur i , i4(%- 7^) de cet axe m’est donnée par celle de l’une quelconrpie des diagonales du grand carré 6, 8, 7, 9 (fig. 69) qui font elles-mêmes la fonction d’axes dans' le dodécaèdre, et qui sont représentées ici de grandeur naturelle. Je mène les ligues 24, 67, 10 12 (fig. 70) qui sous-divisent l’axe ainsi que jè l’ai dit , et j’ai ainsi tous les points de la projection verticale.

Cette projection est la même que celle de la figure 68. On s’est dispensé delà relever, parce que les faces qui , sui- les projections des formes secondaires, auraient été représentées par de simples lignes, savoir, celles qui seraient perpendiculaires ou parallèles à l’axe 1 14', ne se rencontrent sur aucune variété de grenat. Il en est de cette substance comme de plusieurs autres, où des foces qui naîtraient d’une loi très simple, semblent être exclues du système de cristallisation.

La manière d’opérer qui m’a paru mériter la préférence, pom’ mettre en jirojection la forme de la

Variété trapézoüdale que représente la figure

consiste à élever sur les difierentcs feces du dodé-

caèdre primitif, tel qrfon le voit (fig. 68), comme sur autant de bases, les douze pyramides qui résultent d’un décroissement par une rangée sur les l>nrds de ce dodécaèdre. Je choisis pour exemple celle dont la base repose sur le rhorabe 71 et 72)

le même que 1 298 (fig. 68). Pour la construire, je mène par le centrée de ce rhombe la droite ttcÇ, perpendiculaire sur les côtés er, d’où il suit que et eÇ’=j£r. Ensuite du point Ç je mène ÇéT perpendiculaire sur les deux bords et* ,1/U9’, puis du point v je mène wK parallèle à 11 est aisé de voir que les deux faces produites par le décroissement qui agit de part et d’autre de l’arête y\ sont eUes-mémes parallèles à ÇcT, d’où il suit que ))7r coïncide avec l’apothème c»! ( fig. 7 1 ) du triangle ysX. Maintenant , pour trouver l’extrémité » de cet apothème, qui est le sommet de la pyramide je mène la ligne oc

par le centre o du dodécaèdre et par le centre c du rhombe yevA et je la prolonge jusqu’à la rencontre de r,7r, ce qui me donne la hauteur es de la pyramide. Enfin du point s, je mène aux quatre angles du rhombe les droites se, sr, sA, sy^ qui, j.ointes aux côtés du rhombe, donnent les quatre faces de la pyramide.

Pour avoir celles de la pyramide adjacente yMfiz (fig. 71 ), je prolonge air (fig. 72 ) de l’autre côté de >A , ce qui me donne jm ) ensuite , par le centre o du

' DK CRISTALLOGRAPHIE.

dodécaèdre et par le centre r du rliombe je

mène or que je prolonge jusqu’à la rencontre z de xu, et j’ai ainsi le sommet de la pyramide proposée y après quoiÿ il ne me reste plus, pour achever de la ■construire, qu’à mener les lignes zy, zfz, ztr et zA.

On Conçoit d’avance comment on doit s’y prendre pour continuer l’opération. Si je veux, par exemple, construire la pyramide qui repose sur le rhombe je mène l’apothème du triangle yzf*, qui doit tomber au tiers del’arète/x.j', puis je le prolonge à volonté du côté opposé. Ensuite, par le centre du dodécaèdre et par celui du rhombe, je mène une droite jusqu’à la rençoptre du prolongement de zy ; le point où elle a lieu est le sommet de là pyramide, et le resté va de soi-même. • ;

FIK DU SECOND ET DERNIER VOnUab:.