CHAPITRE II

D’après ce què nous. avons dit précédemment, on peut considérer une face d'ouvrage en terrain horizontal comme engendrée par le plan de profil se mouvant parallèlement à lui-même, suivant la direction de la face. Il en résulte que la connaissance de la crête intérieure, c’est-à-dire de la ligne la plus importante de la fortification, jointe à celle du profil, suffit pour déterminer la face. On pourrait donc à la rigueur, pour une fortification en ligne droite, se contenter de ces données ; mais d’abord on a souvent besoin d’avoir un dessin complet de la fortüfication, et d’un autre côté, quand le retranchement se compose de lignes brisées, pour connaître les arêtes de rencontre des différents talus, il est nécessaire . de recourir à la géométrie descriptive.

Les surfaces de la fortification sont habituellement des plans, quelquefois des surfaces coniques. Les procédés ordinaires de la géométrie descriptive dans lesquels on se sert de deux plans de proportion, pourraient donc être suivis pour représenter ces surfaces; mais on éprouverait dans la pratique de grandes difficultés. En effet, les projections sur le plan horizontal donneraient bien la forme générale de l’ou-

vrage ; mais les arêtes homologues des différentes faces étant à des hauteurs sinon les mêmes, du moins très-peu différentes, la projection sur le plan vertical offrirait une grande complication de lignes. Or, en y réfléchissant un peu, on voit facilement que la projection verticale est surtout destinée dans ce cas à donner les hauteurs des différents points audessus d’un certain plan horizontal (ce sera quelquefois le sol), nommé plan de comparaison, et qu’elle n'offre que peu de notions sur les formes générales de l'ouvrage, bien accusées d’ailleurs sur le plan horizontal de projection. Si donc on conserve seulement le plan de projection horizontal en écrivant à côté des différents points leurs hauteurs. audessus du plan de comparaison ou leurs cotes, on pourra supprimer le plan de projection vertical. Ce mode de description a reçu le nom de méthode des plans cotés.

Nous n'avons pas l'intention de faire ici un traité des plans cotés, mais nous croyons utile de donner une idée générale de cette méthode et de rappeler ensuite en peu de mots les problèmes simples qui se présentent constamment dans le dessin de la fortification. Ce que nous dirons pourra suffire pour les cas ordinaires, et si l'on voulait s'initier davantage à la pratique de ce mode de représentation des surfaces, si commode et si général en même temps, il faudrait avoir recours à un ouvrage spécial.

Un point est représenté par sa projection sur le plan horizontal, et par sa cote ou sa hauteur au-dessus de ce plan. |

Une droite est complétement déterminée par les projections de deux de ses points accompagnées de leurs cotes. Les deux points sont habituellement joints et donnent la projection de la droite.

Un plan peut être représenté par les projections de trois de ses points, jointes entre elles et cotées. Quand la surface plane est limitée par des droites, leurs projections et les cotes de leurs extrémités déterminent le plân. Presque tou-

jours pour donner une idée plus complète de sa pente, on ajoute la projection de ses horizontales à cotes entières, c'est-à-dire des intersections de ce plan par d’autres plans horizontaux, équidistants et situés à des cotes entières; ces horizontales et leurs projections sont équidistantes, et'on

‘les termine aux lignes qui limitent le plan. Si celui-ci ne fait

point partie des surfaces à représenter, mais qu'il soit nécessaire pour les constructions, on encombrerait la figure en conservant toutes les horizontales ; on mène alors une droite perpendiculaire à ces horizontales qui la partagent en parties égales. Cette droite est la projection de la ligne de plus grande pente du plan, c’est-à-dire celle qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal : il est facile de voir qu’elle suffit à elle seule, quand elle est cotée, pour déterminer le plan dont elle est l'échelle de pente.

Les surfaces courbes employées dans la fortification sont presque entièrement cylindriques ou coniques; on pourrait les définir par leur mode de génération. Mais il est plus simple et surtout plus conforme à ce que nous avons fait pour les plans, de les représenter par leurs intersections avec des plans horizontaux équidistants et à cotes entières: ces intersections sont tracées däns la limite de l'existence des surfaces, et seront des arcs de cercle toutes les fois que les axes des cônes ou des cylindres seront verticaux, ce qui arrive le plus ordinairement.

Enfin, en suivant la même méthode, le terrain régulier ou non sur lequel est établie la fortication sera représenté, comme en topographie, par des courbes horizoritales qui sont les intersections de ce terrain, par des plans horizontaux successifs, équidistants et habituellement à cotes entières.

De cette manière, toutes les surfaces existantes, quelle que soit leur génération, auront un même mode de description graphique. Des coupes ou des profils sont d’ailleurs souvent ajoutés à ces plans, pour en rendre l'intelligence plus facile.

Nous allons examiner successivement les problèmes qui

sont du plus fréquent usage dans le dessin de la fortificaüon :

1° Trouver la rencontre de deux plans :

Il suffit pour cela de joindre les points de rencontre des horizontales à même cote, qui sont sur une même ligne droite, comme l'indique la théorie des parallèles.

2° Trouver l'intersection d’une droite et d'un plan :

Si la droite donnée est horizontale, on cherche dans le plan une horizontale à même cote, et son intersection avec la droite donnée est le point cherché ;

Si la droite est inclinée, par ses points de division à cotes entières on mène une série de droites parallèles qui peuvent être considérées comme les horirontales d’un plan auxiliaire passant par la droite donnée; on cherche l'intersection de ce plan avec le plan donné, et le point de rencontre de cette intersection et de la droite est le point cherché.

3°. Par une horizontale donnée mener un plan ayant une inclinaison donnée :

L'inclinaison du plan, donnée par le rapport de la base à la hauteur, est mesurée suivant la plus grande pente, c’està-dire perpendiculairement à la direction des horizontales. ILen résulte que la distance d’une horizontale quelconque à celle qui est donnée s’obtiendra en multipliant le rapport donné pour la pente, par la différence de niveau des deux horizontales. On peut donc construire successivement toutes les horizontales du plan, et par suite son échelle de pente.

4° Par une droite inclinée mener un plan ayant une inclinaison donnée :

Soit AB (Pr. I, fig. 3) la droite donnée, cotée au moins en deux de ses points. Le point 7 peut être considéré comme le sommet d’un cône à axe vertical, dont les arêtes ont la même inclinaison que celle du plan cherché, soit 2 de base pour 3 de hauteur. Le plan sera tangent au cône; or, si on coupe ces deux surfaces par un même plan horizontal coté 3 par exemple, la section faite dans le cône sera un cercle

ayant pour rayon les deux tiers de la différence de niveau entre cette section et le sommet du cône ; la section du plan tangent-sera une horizontale de ce plan, passant par le point coté 3 de la ligne AB, et on pourra la construire, car on sait qu’elle est tangente au cercle base du cône. Le plan cherché est alors déterminé, car on en connaît une horizontale et une autre droite. Parmi les deux solutions, on choisit celle qui convient à la question.

On pourrait demander de construire une horizontale, à une cote donnée, 5 par exemple. On considère alors les deux points 3 et 7 comme les sommets de deux cônes dont les : arêtes ont l'inclinaison du plan cherché. Les intersections de ces deux cônes par le plan horizontal coté 5, sont deux arcs de cercle décrits de leurs sommets, comme centre avec un rayon égal aux : de la différence de niveau qui existe entre les sommets et ce plan. La tangente aux deux cercles passant par le point coté 5, sera l’horizontale du plan cherché, qu’ä est alors facile de déterminer complétement. NH faudra encore choisir entre les deux solutions. . |

Telles sont les questions qui se présentent le plus souvent dans la pratique.

D’après les considérations précédentes, nous allons indiquer comment on construit le plan d'une ou de plusieurs faces d'ouvrage.

Si on considère d’abord uñe portion de parapet en ligne droite, située sur un plan horizontal et ayant sa ligne de feu aussi horizontale, il est facile de voir que les deux crêtes intérieure et extérieure sont parallèles dans l’espace et par suite sur le plan de projection : d'abord elles sont dans deux plans verticaux parallèles, à cause de l'égalité d'épaisseur du parapet, et elles représentent en outre l'intersection de ces deux plans par un troisième , le plan de plongée. Ainsi la crête extérieure est horizontale et parallèle à la crête inténeure. Le pied du talus extérieur et la crête extérieure sont deux horizontales du même plan; elles sont donc parallèles.

On ferait le même raisonnement pour prouver que toutes les autres lignes du déblai ou remblai sont parallèles entre elles. La distance de l’une à l’autre est donnée par le profil droit.

Si deux faces d'ouvrage se rencontrent en formant un angle saillant ou rentrant, il est facile de déterminer l’intersection des différents plans, en supposant les crêtes intérieures à la même hauteur et les parapets de même épaisseur.

"Toutes les arêtes homologues sont à la même hauteur et se rencontrent deux à deux, suivant la bissectrice de l’angle des deux faces. (PL. I, #g. 4.)

On termine une face d'ouvrage par un profil en talus, auquel on donne souvent la pente du talus naturel des terres; si on le tient plus raide, on empêche les éboulements par des moyens artificiels dont nous parlerons plus loin.

Voici comment on construit-ce plan (PL. I, #g. 4) : soit À l'extrémité de la crête intérieure d’une face cotée 7,50, le sol étant coté 5. La direction cd de la trace sur le sol du plan de profil en talus est donnée ; elle est souvent perpendiculaire à la crête. Cherchons d’abord cette trace; sa direction étant connue, il suffit de trouver à quelle distance elle se trouve du point À. Or, si la pente du talus est de 5 de base pour 4 de hauteur, par exemple, la distance cherchée sera les + de 2",50. Avec cette grandeur pour rayon décrivez du point À comme centre un arc de cercle, menez lui une tangente parallèle à cd, ce sera la trace cherchée, limitée aux pieds des talus extérieur et de banquette en C et en D. Cherchons l'intersection de ce plan avec ceux qui limitent la surface, et d’abord avec la crête extérieure cotée 7. L’horizontale 7 du profil en talus est parallèle à sa

trace, à une distance égale aux ; de 2. Son intersection avec la crête extérieure en B donnera le point cherché, qu'il suffira de joindre avec les points À et C pour avoir l'intersection des plans de plongée et de talus extérieur avec le profil en talus. —

La banquette est à 1",20 au-dessus du sol, et son intersection EF avec le plan de profil en talus est l’horizontale 6,20, située à une distance de la trace égale aux < de 1,20. Puis, pour avoir les intersections du profil en talus avec les talus intérieur et de banquette, il suffit de joindre AF et DE. |

Ordinairement la trace supérieure du plan en talus qui limite le fossé est dans le prolongement de la trace de celui qui limite le parapet. Etant donnée l’inclinaison de ce plan, on le construit d’une manière analogue.

Les profils droits ou obliques se construisent aussi trèsfacilement quand on connaît le plan de l’ouvrage. On mène d’abord la trace du profil GS sur le plan; puis sur unè droite horizontale représentant cette trace (PL. I, Âg. 5), on place successivement les points G, k, 1, /, M. N,0, p, Q, en prenant les distances qui les séparent sur le plan. Par ces points on élève des verticales dont la hauteur est donnée par les cotes des arêtes correspondantes sur le plan, etiln’y a plus qu’à joindre leurs extrémités.