TRACÉ DES MÉRIDIENS ET DES PARALLELES SUR UN PLAN

128. Quoique l’on ne soit pas dans l’habitude de tracer sur les plans les projections des méridiens et des parallèles,

TRAITE ELEME.NTAIRE

voici néanmoins les équations à l’aide desquelles on pourra construire ces courbes:

Soient (figure 56) , sur la sphère PEP'E', PA P' le méridien principal d’un plan; H et P les latitude et longitude d’un point A situé sur ce cercle, et considéré comme origine des coordonnées; A' un point quelconque dont H' et P' représentent la latitude et la longitude; enfin x et j ses coordonnées A'B et AB par rapport à A.

Cela posf'j si l’on trace le méridien PA'P', on formera un triangle sphérique P B A' rectangle en B dans lequel on aura (page 12):

(a) tangx = cos (H+j) tang (P-P').

Cette relation entre x et y subsistant pour tous les points du méridien PA'P', qui fait avec le méridien principal un angle égal à P — P', en est l’équation sur la sphère.

Celle du parallèle qui passe par le point A', dont la latitude est H', sera représentée par la relation

(b) sin II' = sin (H+y) cos x.

Or, dans le système de projection adopté pour rapporter sur un plan les diverses positions obtenues au moyen de -leurs distances à la méridienne et à la perpendiculaire d’un lieu pris pour départ, on développe le méridien PAP 1 (figure 57) , suivant une droite pap' ; puis, après avoir pris sur lui une longueur ai = AB, on élève en b une perpendiculaire sur laquelle on porte une distance 6a'=rfiA'. 11

résulte donc de ce procédé que sur la projection les rela- • •

tions ci dessus subsistent toujours; ainsi, elles représentent

les, équations des projections d’un méridien et d'un parallèle qui passent par un point connu.

. 129. Il sera plus commode-, pour tracer ces courbes, de calculer leurs divers points d'intersection au moyen des équations ''

cos (H+j) = cot H' cos (P-F), sin x = cos H' sin (P-F),

■dans lesquelles on fera croître simultanément if et P de cinq «n cinq ou de dix en dix minutes, par exemple, selon l’étendue du plan. On convertira en secondes les arcs qu’on aura obtenus pour x et y, puis on multipliera ces derniers résultats par g' sin 1" afin d’avôir leurs valeurs exprimées •en mesures linéaires. ( ç' désigné îci le rayok de courbure du sphéroïde à la latitude moyenne du lieu.)

150. Lorsque le plan se trouve renfermé entre deux méridiens et deux parallèles fort rapprochés , les équations de ces courbes peuvent se présenter sous la forme suivante, vu la petitesse des quantités x et y par rapport au rayon de courbure ç' du sphéroïde et le peu de différence qu'on suppose exister entre ti et H'.

( y+t' **)* + co« h tang *( P-P , j x = «'* (2+teng* H) , (y—ç col H } 2 -t- x 2 = ç ' 2 cot H (cot H + h sin J (H— H')).

On voit alors que les méridiens deviennent des arcs de parabole et les parallèles des arcs de cercle.