LIVRE DEUX1ÈMB

tangc tanga ’ sine sin « ’

cos C =

tang b tanga’

sin B =

sin b sin a ’

Divisant les équations supérieures par celles inférieures, et taisant les réductions , il vient , à cause de la première relation (a') ,

cos B tangc sin a ? c°sC __ ^ë ^ s*n — COs c;

sin C tanga’ sin c COS ’ sin B tang a sin b

donc, dans un triangle sphérique rectangle , le cosinus dun des côtes de V angle droit est égal au cosinus de l’angle opposé > divisé par le sinus de l’angle oblique adjacent.

Enfin, multipliant l’une par l’autre les équations {d"), on a pour produit

tang B tang C = — b ~ ,

ou bien

cos a = cotB cot C.

De cette relation l’on conclut que le cosinus de l’hypoténuse est égal au produit des cotangentes des deux angles obliques.

Considérant toujours le triangle ABC rectangle d’une part

sin a

et de l’autre, cos B =

sm B

tang c * tang a ’

en A , on a

puis changeant les tangentes en sinus et cosinus, il vient

sin b

sin c cos a = cos B cosc sina = cos B cosc g*

Maintenant si l’on substitue pour sin a et sin c cos a leurs valeurs dans la formule connue

sin (a — c) = sin a cos c — cos a sin c,

on trouvera, à cause de— ~ cosB = tan!? ?

sinB o 2>

sin (a — c) — sin b cos c tang ? f

résultat qui, en y mettant au lieu de cos c sa valeur^, deviendra

sin (a — c) = tang£ cosa tang 5.

Si l’on change les b en c et vice versa !, dans ces deux dernières formules on aura sur-le-champ

sin (a — b) = sin c cos b tang -, sin (a — b') — tangc cos a tang

ce qui fera connaître l’excès de l’hypoténuse sur un des côtés de l’angle

dro.t. Ces formules ont été données pour la première fois par Prony,

mais sans c emonstration. En voici deux autres qui s’obtiennent par le meme procédé : *

cos [a — c) = cos b H- sin b sin c tang^B,

tang(fl— tang 6 cos c tang 1B

i H- tang b sin c tang ÿ B ’

mais leur forme rend l’emploi des logarithmes moins commode.

remnakf'inT “’UiC°n“™e la des triangles sphériques

Iffectëf es val/ ;g **“* formules’ qui doivent

attecter les valeurs de sm, cos, tang, etc., d’un angle, on ne sera

nullement embarrassé sur l’espèce de l’angle ou du côté cherché, dam

tous les cas qu. ne sont pas douteux de leur nature. L’équation

cos a cos ô cos c , par exemple, nous apprend que chacun dis trois

cotes d un triangle spherique rectangle est plus petit qu’un quadrant

ou que s. deux cotés sont plus grands que 100», le troisième sera néces-