B') AP = F

qui est encore assez exacte dans la circonstance actuelle (art 367). En

voici le calcul :

(Table IV ) log F = 8.99868 1/|

logK = 5.1 529053 1. sinZ = 8.75645^1 — c. logcosH' = o. 1083191

log AP = 3.0163579 — Partant .^

AP = - io38%38

et comme longit. de Desierto, P = + a >5639 ,8a ouest

longit. de Mongo, F = + a'*,46oi ,4^1 = a<'ia'5o",87.

L'azimut de Desierto, sur l'horizon de Mongô , s'obtiendra pareillement , avec une exactitude très-suffîsante , par la formule employée à l'art, précédent; nous nous bornerons à dire qu'on le trouvera de i96%43o4%5= 176^47' i4%66.

Si dans la formule (A') tout était connu excepté K, l'on aurait par le retour des suites

R= J^(H'-H)sini"-i?i^^^?^.^(H'-H)»sin»i"...;

cosZ ^ ^ * cos'Z N ^ ^ '

et en passant aux nombres, il viendrait, à cause de H'— H négatif,

C'est de cette manière que , dans la reconnaissance géographique d'un pays, l'on obtiendrait approximativement la longueur d'une longue base dirigée à fort peu près dans le sens du méridien y s'il y avait impossibilité de la mesurer directement , et si l'on avait observé avec soin les latitudes de ses extrémités ainsi que son azimut. Mais il est évident qu'une incertitude d'une seconde sexagésimale dans l'amplitude H' -- H ferait que la base cherchée ne serait connue qu'à une trentaine de mètres près.

N. B. La formule (A'J donne en toute rigueur la différence des latitudes des extrémités de l'un des plus grands côtés de triangles qui aient été mesurés; mais quoiqu'elle ne soit pas très-longue àcalculer^

nous avons cherché à la modifier de manière à la réduire à ses deux premiers termes sans en altérer sensiblement l'etactitude , et nous avons remarqué qu'il suffisait pour cela de faire

(a) H^-H=: ^g^,— x^'""'^tangi(H + H-).

^ ^ R sin j " 2 ]yï^ sin ,// & 2 v )

En efifet, si Ton développe tang ^ (H + H')= tang (H+|rfH), rfH étant kl différence approchée des latitudes^ et si l'on observe que

rfH = ■— — cosZy à très-peu près, il viendra, en arrêtant le développement aux termes du troisième ordre ,

- i|j^ sin» Z tangH + j^sin" ZcosZ (i + i tang» H),

tandis qu'on devrait avoir

-i^«ia»ZtangH + ^sin»ZcoéZ(|+itang«H).

Mais il est aisé de voir qu'à la latitude de 4^ degrés le facteur binôme du dernier terme serait \ d'une part et f de l'autre , et qu'en définitive il y a presque compensation. C'est d'ailleurs ce qu'un exemple numérique va mettre hors de doute.

D'après les données ci-dessus , la nouvelle formule (a) donne

et puisque le premier terme eôt le même que précédemment, l'on a

H' — H = — i%4ao9%433 - o',4a3 = — i%4ao9,856.

On pourra donc, à l'avenir, substituer cette formule à la première (A'), et être sûr qu'elle procurera , à très-peu de chose près , les mêmes résultats, puisque, dans l'exemple actuel, la différence est à peine dans les millièmes de seconde centésimale.

La plus courte distance de deux points donnés sur le sphéroïde terrestre, par leurs latitudes et leurs longitudes géodésiques , est susceptible d'être déterminée exactement par les formules précédentes, lors-

qu'elle est très-petite à l'égard du riayon de la Terre , ou, comme on dit, lorsqu'elle est de l'ordre de l'aplatissement. En effet, si^ dans les deux formules (A'), (B') employées ci-dessus , on pose

X = KcosZ, et ^ = KsinZ,

et qu'on néglige, dans la première, le troisième terme qui est à peu près insensible pour les plus grands triangles dont on peut observer les angles, on aura évidemment à résoudre ces deux équations