LIVRE DEUXIÈME. p

cos B = —^- , cos C = — — ,

. ^ sine . Tfc siii^

sm C = -7 — , sin B = — — .

sm^i ' sin a

Divisant les équations supérieures par celles inférieures ^ et faisant les réductions y il vient , à cause de la première relation (a')^

cos B tane c sin a « cos G tans ^ sin a

-.-7^ = r-^"- -: — = cosô, -.— s = r-^— • -î— î = c<^ ^; sm G tanga- sm c ^ sm B tang a sin 6 '

donc 9 dans un triangle sphérique rectangle ^ le casinos dun des côtés de l'angle droit est égal au cosinus de l'angle opposé^ diviseur le sinus de r angle oblique adjacent.

Enfin, multipliant l'une par l'autre les équations (a")^ on a pour produit

Xssxia B tang C = — .-^ = — — ,

^ ^ cos b cos c cos a

• OU bien

cos a = cotB cot C.

De cette relation l'on conclut que le cosinus de Vhjrpoténuse est égal au produit des cotangentes des deux angles obliques.

62. Considérant toujours le triangle ABC rectangle en A, on a d'une part

sin ^ ^ 1 ,, ^ -n tansc ^

sm a = -r-i; > et de 1 autre , cos B := -— ?- ^

smB tanga

puis changeant les tangentes en sinus et cosinus , il vient

sin c cos a = cosB cosc sin a = cosB cosc -^-~=:-

smB

Maintenant si Ton substitue pour sin a et sin c cos a leurs valeurs dans la formule connue

sin (a — c) = sin a cos c -- cos a sin Cj

j I — cosB ^ B

on trouvera , a cause de — ^^^ — = tang - ,

sin (a — c) = sin b cos c tang -,

résultat qui, en y mettant au lieu de cos c sa ^^aleur^^» deviendra

sin {a — c) = tang& cosa tang -.

Si Ton change les ft en c et vice versd, dans ces deux dernières formules, on aura suc-le-champ

sin {a — 6) = sin c cos b tang -,

sin (a — ft) = tangc cosa tang -;

ce qui fera connaître l'excès de l'hypoténuse sur un des cotés de l'angle droit. Ces formules ont été données pour la premicfre fois par Prony, mais sans démonstration. En voici deux autres qui s'obtiennent par le même procédé :

cos (il — c) = cos ft -h sin ft sin c tang^^B, tanefa-cl= ^^^^<^Q«^^°67B ,

o^ • / I H- tang ^ sine tang jB'

mais leur forme rend l'emploi des logarithmes moins commode.

63. Voilà tout ce qui concerne la résolution des triangles sphériques rectangles. En ayant 'égard dans les formules, aux signes qui doivent affecter les valeurs de sin, cos, tang, etc., d'un angle, on ne sera nullement embarrassé sur l'espèce de l'angle ou du côté cherché , dans tous les cas qui ne sont pas douteux de leur nature. L'équation cos a = cos b cos c , par exemple , nous apprend que chacim des trois côtés d'im triangle sphérique rectangle est plus petit qu'un quadrant , ou que si deux côtés sont plus grands que loo^, le troisième sera néces-