COORDONNÉES DE DROITE

17. Les coordonnées considérées ci-dessus sont des coordonnées destinées à déterminer la position d'un point; on dit que ce sont des coordonnées de point. Nous avons aussi des coordonnées de droite (coordonnées tangentielles, voir Sections coniques j n^ 70) pour déterminer la position d'une droite; si, par exemple, dans un système quelconque de coordonnées trilinéaires {x, y, 2), l'équation d'une droite est \x -r- ^y + Çs =: o, nous avons alors un système corres-

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l4 CHAPITRE I.

pondant de coordonnées de droite, dans lequel on dit que (?,'/i, Ç)sontIes coordonnées (coordonnées tangentielles) delà droite en question. Observons que, d'après cette définition, (^,71, ^) sont données seulement en ce qui regarde leurs rapports et que leurs grandeurs absolues sont indéterminées ; elles ressemblent par là aux coordonnées ponctuelles prises dans leur sens le plus général.

18. Les coordonnées (ç, T^, Ç) se rapportent à une droite; une équation linéaire a^ -}- br\ -|-c!^r=z: o entre ces coordonnées s'applique à toute une série de droites telles que les coordonnées de l'une quelconque d'entre elles vérifient cette équation; mais toutes ces droites passent par un même point : c'est le point dont les coordonnées dans le système correspondant de coordonnées ponctuelles (^, JK, ^) sont (a, b, c); en effet, l'équation linéaire a? -}- Z?7) + cÇ = o exprime que l'équation en coordonnées ponctuelles ^^ + y]jK -\~ 'Çz = o est satisfaite quand on y remplace (^, jk, ^) par (a, b, c). On en conclut que l'équation a ^ -|-^y|H-c5^r=:oen coordonnées de droite (Ç, rj, 'Ç) représente un point; c'est celui dont les coordonnées trilinéaires dans le système correspondant sont (a, Z>, c). Et, en général, toute équation homogène en coordonnées de droite (^,71, Ç) représente la courbe qui est l'enveloppe de toutes les droites \x + y\y + Ç^ = o dont les coefficients (^, tj, Z) vérifient la relation en question. On dit que cette relation est l'équation tangentielle de cette enveloppe. En d'autres termes, l'équation tangentielle d'une courbe est l'équation entre (?, rj, Ç) qui exprime que la droite ^x ~\- 'f\y -\- ^z z= o est une tangente à la courbe.

19. Dans ce qui précède, les coordonnées de droite (^, 7], ^) sont définies au moyen d'un système correspondant de coordonnées trilinéaires (^, jk, -s), et la signification des rapports ^ : v) : Ç se trouve par là même complètement déter-

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COORDONNÉES. i5

riiinéé ; c'est la marche la plus commode à suivre. Cependant il convient de donner du système de coordonnées de droite une définition quantitative indépendante, moins pour les applications dont elle est susceptible que pour établir d'une manière plus complète l'analogie qui existe entre les deux genres de coordonnées. Nous pouvons dire que les coordonnées trilinéaires (?, 7], Ç) d'une droite sont proportionnelles à des multiples donnés des distances, mesurées suivant des directions données, de la droite à trois points donnés. Supposons, pour fixer les idées, que nous prenions ces coordonnées proportionnelles aux distances perpendiculaires de la droite aux trois points donnés. Si nous rapportons la figure à des coordonnées cartésiennes, les coordonnées des points sont (a, P), (a^, P'),(a'^, P'^) et l'équation de la droite est

AX 4- BY + G =z o.

Nous avons alors les relations

?: '0 : ?==Aa-l-Bp-HG : Aa'-H Bp^-h G : Aa^^+BjB^^+G,

ou, ce cjui revient au même, l'équation de la droite est

Les coefficients de ^, t,, !J sont ici des fonctions linéaires données de (^, y^ i); si nous désignons ces coefficients par {x^y, z); nous aurons (^, JK; ^) comme système de coordonnées trilinéaires, et l'équation sera ^.2? -}- r\y -\-Z^z. = o '^ cette définition concorde donc avec celle qu'on a donnée plus haut. Nous pouvons, exactement comme au n° 7, déterminer les coordonnées de droite (i, 7], t^) de manière que la droite ( I : I : i) soit une droite donnée, ou que le point ^ -|- yj -j- Ç ==: o soit un point donné de la figure.

ï6 CHAPITRE ï.

20. Il peut être bon d'indiquer ici quelques systèmes particuliers. Si a, p, Y représentent respectivement les distances, comptées suivant une direction donnée, de la droite variable aux points A, B, G {fig, 2), par exemple

les coordonnées \,^r\^\ peuvent être prises proportionnelles à

Fi^^ 2.

ces distances, ^ : 7] : Ç = a .* P : y. Imaginons que le point G s'éloigne à Pinfini suivant la direction donnée ; y a une valeur infinie qui doit être regardée comme une constante ; et,

si nous posons \\'f\l -==a: P:i, nous pouvons, au lieu des

coordonnnées primitives |,7], Ç, prendre comme coordonnées

\ Ti, -y c'est-à-dire a, p, i. Nous avons ainsi un système de

deux coordonnées a, [3 qui sont respectivement égales aux distances, comptées suivant une direction donnée, de la droite aux deux points fixes.