CHAPITRE III. - SI l'.IACIi DE L\ VIS A FILETS TRIANGLLAIRES. l^y

996. Les points M et M, sont à une même distanco ilii point 0 {Jîg. 4oi), car il y a égalité évidente entre les triangles OQM et OQ, M, ; le point s milieu de MM, est par conséquent le pied de la perpendiculaire abaissée du point 0 sur PO, et se trouve sur le cercle décrit sur OP comme diamètre. Ce cercle est une ligne diamétrale de la courbe pour les cordes qui divergent de P.

Le point M arrive en P lorsque l'intersection Q est en F ou en F, ; le point fixe P est donc un point double de la projection de la ligne d'ombre : les droites FP etF, P [Jîg. 4o2) sont les deux tangentes; car on peut regarder cbacune d'elles comme une sécante dont le second point de rencontre s'est confondu avec le premier.

Lorsque la divergente PO se coiifond avec l'axe OY, les points ^[ et M, sont réunis en 0 [fig. l\oi). L'origine 0 est donc un second point double de la courbe, mais les deux brancbes qui y passent ont une tangente commune OT. On le reconnaît, soit en appliquant le raisonnement précédent aux sécantes OMetOM,, soit en remarquant qu'aux points de la courbe d'ombre ([ui se projettent en 0, le plan tangent à la surface est vertical, et que, puisqu'il est parallèle aux rayons de lumière, sa trace estOT; il projette donc sur cette droite toutes les lignes qu'il contient, et notamment les tangentes à la courbe d'ombre aux points où elle coupe l'axe de l'Iiélicoïde (').

démonstralion que nous donnons; mais, en le supposant mobile, nous avons obtenu, à l'aide du p lint fixe'T, du cercle AKKi et du cercle FQQi, une construction qui présente de l'intérêt (art. 99-4 >.

Les droites OQ et OQi, respectivement perpendiculaires aux rayons OK et OK,, doivent être tracées, par rapport à ces rayons, du coté où s'étend la branche de la spirale d'Archimède, trace de la nappe inférieure de la surface. On pourrait transporter le point Ta droite du point O et à la même distance de ce point; chaque perpendiculaire devrait alors être élevée de l'autre côté du rayon.

Le point ï et le rayon OA ne sont pas déterminés, car l'une quelconque des hélices de la surface peu être prise pour directrice. Les longueurs OT et 0.4 sont seulement reliées par la formule

OT tangy = rh 0.4 tanga, ou bien