Slll-a ]z -^ a iin-J-XOsK / ,y

b- ^y «sina + y

"- \ b- j ■ - y/ asiiia-i- z'

II est facile de trouver l'équation de la transformée par développement, dans le cas où le cylindre est de révolution. ()\\ a alors

b^ a siiia,

et les éfiuations (3) et (4) deviennent

/ b -\- -' (•3) .z;'cotai=2;'— /^logi /-^ '-,,

(6) x'cota=61ogt/^^.

Si nous rapportons les transformées au\ droites 0"D" et ()" 0', on aura

En portant ces valeurs de x' et de z' dans les équations (5) et (6), on trouve [lonr équations des transformées

ilogtangf 4

(7) ■ .r"cota= 2 6sin -^ 61ogtangf45 ,

(S) a;"cot« = 6log tang (45"-l-^

[.'équation d'une sinusoïde transformée d'une section horizontale, telle que C'H", est, en supposant toujours que le cylindre soit de révolution,

x" tanga -I- b sin y -i- C ^ o.

La différenliation donne

dd' tanga

COS-r-

b et l'on a pour la trajectoire ortliogonale

-=— ; r= cota COS — •

dx" b

En intégrant cette équation difîérenlielle on trouve l'équation (S). Il l'é.-iuitc de Im (|ui> les équations (4), (6) et (8) se rapportent à la ligne de plus grande p(Mili\ el les l'qnnlions (3), (5) et (7) à la courbe compagne.

1081. Conoïdes dont le plan directeur est Jiorizontal. — Qiiainl les génératrices

2o8 LIVUE \. - SURFACES TOPOGKAPHIQUES.

(riiiic surface sont des droites horizontales, les projections des lignes de plus grande pente sont les trajectoires orthogonales d'une série de droites, et par suite des développantes de leur enveloppe.

Si le conoïde est droit, les trajectoires orthogonales sont des cercles. On conclut de là que les lignes déplus grande pente d'une surface de vis à filets carrés dont l'axe est vertical sont des hélices génératrices.

Hélicoïdes. — Pour une surface de vis à filets triangulaires, la projection d'une ligne de plus grande pente est la trajectoire orthogonale d'une série de spirales d'Archimède identiques et ayant leurs sommets en un même point. Cette courhe a donc une sous-tangente constante, et par suite elle est une spirale hyperholique (art. 10241. Dans l'espace, les lignes de plus grande pente forment deux groupes qui appartiennent respectivement à la nappe supérieure et à la nappe inférieure. L'axe les sépare et leur est asymptote aux unes d'un côté, et aux autres de l'autre.

1082. Dans la plupart des surfaces que nous venons d'étudier, et qui sont des plus simples de la Géométrie, les lignes de plus grande pente dillérent d'une manièi'e essentielle des courhes que nous avions eu l'occasion d'examiner, car elles ont des points d'arrêt à distance finie ou à l'infini. Elles sont, en général, réparties en groupes séparés par des lignes de plus grande pente qui sont soumises aux lois ordinaires de la continuité.