CHAPITRE IV. — IlYPERROLOIDE. 1 8q

droites hg et h^g,, parallèles à O7 et tangentes à l'ellipse ah; elles percent le plan horizontal aux points ^et g, de la trace de l'hyperboloïde. L'asymptote est l'intersection du plan sécant par le plan qui contient ces droites et qui touche la surface à leur point de rencontre, situé sur la courbe à l'infini; la trace de l'asymptote est donc au pointe, où se coupent les traces KK, et^g, de ces plans; ses projections sont les droites vC et v'C, respectivement parallèles à Oy et à 0'-/.

On peut établir la trace gg^ du plan tangent à l'infini par la seule condition de toucher au point 7 la trace du cône asymptote.

On obtient de la même manière la deuxième asymptote (mC, u'ÇI), parallèle à la génératrice (Os, O's') du cône.

712. Quand dans deux positions différentes la génératrice d'une surface gauche se trouve parallèle à une même droite située dans un plan sécant, la courbe d'intersection présente deux branches infinies, car il y a des génératrices intermédiaires dont les traces sur le plan sont situées entre les points à l'infini. Mais, pour l'hyperboloïde, les deux génératrices parallèles hg, A, g^ n'appartiennent pas à un même système. Chaque système suffit complètement à la génération de la surface et n'a qu'une génératrice parallèle à Oy; il s'ensuit que la courbe n'a qu'une branche infinie dont l'asymptote soit parallèle à Oy.

715. En appliquant la construction de l'article 711 à la section faite par le plan (M,, j'O'), qui contient le centre, on trouve que ses asymptotes sont les génératrices (Oy, O'y') et (Oa, O's') du cône. Il était facile de le prévoir, car ces droites, devant former un système concentrique et homothétique avec la conique suivant laquelle la surface est coupée, en sont nécessairement les asymptotes.

D'après cela, et en faisant passer un plan par le centre et par une T^écante quelconque, on reconnaît que les segments interceptés sur une droite entre l'hyoerholoide et son cône asymptote sont égaux.

714. Si le plan (M,,i'0') parallèle au plan sécant et passant par le centre touchait le cône, les deux génératrices Oy et Oe se confondraient; il n'y aurait dans chaque système qu'une génératrice parallèle au plan (KK,, l'K'), et, le plan (X-/-,, i'O'; étant tangent h l'infini, l'asymptote intersection de plans parallèles disparaîtrait et la courbe serait une parabole.

Enfin, quand le plan (M,,j'0') ne contient aucune génératrice du cône, la section de l'hyperboloïde est une ellipse.

Cônes et cylindres circonscrits.

715. Considérons une courbe du second ordre, section d'un hyperboloïde par un plan qui en contient le centre 0, et deux droites Oxe\. Ov, diamètres conjugués de cette conique [fig. 3o8) : si l'on fait tourner le plan autour du diamètre

igo LIVRE VII. — SCRFACES GAUCHES.

transverse Ojc, il coupera l'hyperboloule suivant diiïérentes courbes du second ordre qui toutes auront leur centre en 0 et qui passeront par les points A et A,. Les diamètres de ces courbes conjugués avec Oa; seront parallèles au plan tangent en A et formeront par conséquent un plan qui est le plan diamétral conjugué à Ox. Il divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à O.r.

Ce résultat est indépendant de l'existence des points A et A, , et il subsiste par conséquent quand ces points sont imaginaires. Ainsi donc, si l'on fait tourner le plan autour de Oj, les diamètres qui dans les différentes sections seront conjugués avec Oj se trouveront dans un plan.

716. Supposons maintenant que d'un point S pris sur Ox on mène des tangentes SM et SM|. et la droite MîM, sécante de contact, ou polaire de S; on aura la relation

OS X OP = ôaI

Lorsque le plan tourne autour de 0.r, les polaires du point S pour les différentes sections passent par le point P déterminé par l'équation ci-dessus, et, comme elles sont toujours parallèles au plan diamétral conjugué avec 0:r, elles forment un plan qui est \q plan polaire du point S.

L'intersection de la surface par le plan polaire est le lieu des points de contact des tangentes issues du point S, et par conséquent la courbe de contact du cône circonscrit qui a son sommet en ce point.

Si le diamètre OS était non transverse [Jlg. 309), les raisonnements seraient les mêmes, mais les segments OS et OP auraient des directions opposées, et leur

produit serait une quantité négative — OC .

En résumé, la courbe de contact d'un cône circonscrit à un hyperholoide est plane ; son plan est parallèle au plan diamétral conjugué au diamètre qui passe par le sommet du cône.

717. Quand le diamètre OS est transverse {fig. 3o8), le plan polaire du point S est parallèle au plan tangent en A, et par suite aux deux génératrices qui se croisent à ce point; la ligne d'intersection qu'il détermine est donc une byperbole dont les asymptotes sont parallèles à ces droites. Nous aurions pu considérer le plan tangent à la seconde extrémité,4, du diamètre : le résultat eût été le même, car nous savons que les génératrices qui se croisent au point A, sont parallèles à celles qui passent au point A (art. 683). Ces quatre génératrices sont les seules qui soient parallèles au plan polaire du point S, car sans cela la section aurait plus de deux brancbes infinies; si les points A et A, sont imaginaires, c'est-à-dire si le diamètre OS n'est pas transverse {fig. Sog), le' plan polaire du point S coupera toutes les génératrices, et la section sera une ellipse.

Quand le diamètre OS n'est pas transverse [fig. 309;, il se trouve dans l'inté-

CHAPITHE IV. — HYPERliOLOIDE. igi

rieur du cône asymptote, et le plan diamétral conjugué, qui n'est alors parallèle à aucune génératrice, coupe le cône suivant son seul sommet. Lorsque ce diamètre est transverse [ftg. 3o8), il est extérieur au cône, et le plan diamétral conjugué coupe le cône suivant deux droites respectivement parallèles aux deux génératrices qui passent au point A et a celles qui passent au point A,. Dans la position intermédiaire, quand le point S est en s sur une génératrice OE du cône, les points A et A, sont réunis en un seul à l'infini; le plan tangent à l'hyperboloïde en ce point est tangent au cône asymptote le long de la génératrice OE, et, comme il passe par le centre, il est le plan diamétral conjugué à cette droite. Le plan polaire du point s, étant alors parallèle à un plan tangent du cône asymptote, coupe la surface suivant une parabole (art. 714).

Lorsque le point S est sur la surface en A, son plan polaire est le plan tangent en ce point, et la section se compose des deux génératrices qui s'y croisent.

Il résulte de la discussion qui précède que la ligne d'ombre d' un hyperboloide est une hyperbole, une ellipse ou une parabole suivant que le diamètre qui passe par le point lumineux est transverse, non transverse, ou qu'il se confond avec une génératrice du cône asymptote. Quand le point lumineux est sur la surface, la ligne d'ombre est formée des deux génératrices qui passent à ce point. Les considérations que nous avons présentées à l'article 608 pour le paraboloïde montrent comment ces génératrices peuvent former une ligne d'ombre.

En raisonnant comme à l'article 609, on reconnaît que la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à un hyperboloide est plane et située dans le plan diamétral conjugué au diamètre parallèle aux génératrices du cylindre.

L'ombre portée d'un hyperboloide sur un plan est une conique; il en est de même de son contour apparent.

718. Nous pouvons conclure de là et des théorèmes précédemment démontrés que les sécantes qui joignent deux à deux les points homologues de deux divisions homo graphiques dans un plan ont pour enveloppe une conique, car on peut considérer les deux droites comme les projections de deux directrices rectilignes qui ne se rencontrent pas et qui sont divisées homographiquement. Les sécantes sont alors les projections des génératrices d'un hyperboloide, et leur enveloppe est une conique, contour apparent de cette surface sur le plan.

Si les directrices se déplacent et viennent par un mouvement continu se mettre dans le plan de projection, l'hyperboloïdes'aplalira et finira par se confondre avec une partie du plan limitée à la conique.

Ligne de striction.

719. Nous allons nous proposer de construire le point central d'une génératrice quelconque d'un hyperboloide. Nous supposons que cette surface est rap-

102 LIVRE VU. — SUaFACliS GAUCHES.

portée à deux plans coordonnés respectivement parallèles au plan de l'ellipse de gorge et à un autre de ses plans principaux [fig. 3i i), et qu'elle est déterminée par l'ellipse de gorge (rtè, a'è') et par l'iiyperbole contenue dans le plan vertical AB; sa trace horizontale est semblable à l'ellipse de gorge (art. 695).

Le plan tangent à la surface au point situé 'a l'infini sur une génératrice (PQ, P'Q') contient la génératrice parallèle (P, Q,,P', Q',) ; le plan central de la génératrice (PQ.P'Q) est perpendiculaire à celui-là; nous l'obtiendi'ons par la construction de l'article 56, faite dans un ordre différent (').

La droite Q, E, perpendiculaire à PQ, peut être considérée comme la trace d'un plan auxiliaire perpendiculaire à la génératrice (PQ, P'Q'); en le rabattant sur le plan horizontal, nous amenons le point où il coupe celte droite en un point V qu'il s'agit de déterminer sur «Q.

La droite i\ , considérée dans l'espace avant son rabattement, est perpendiculaire à la génératrice comme étant dans le plan auxiliaire. Pour avoir sa grandeur, nous ramenons le plan vertical PQ dans le plan horizontal par une rotation autour de sa trace PQ. Le point {q,q') se place en q^ à une dislance qq^ égale à LO'; la droite {qQ,q'Q.') devient q,Q, et la perpendiculaire w fait connaître la longueur cherchée i\.

Les sections faites par le plan auxiliaire dans le plan tangent à l'infini et dans le plan central sont rectangulaires. La première passe par le point Q, delà génératrice (P, Q,,P'(Q'i); elle est en r;^'>attement Q, V : nous pouvons donc tracer le rabattement VK de la seconde. Quand on remet le plan auxiliaire dans sa position, le point K reste fixe, et l'on voit que la droite QK est la trace du plan central; il ne reste plus qu'à déterminer le point de contact de ce plan.

La génératrice du second système contenue dans le plan central a sa trace au point D, et nous obtenons facilement ses projections CD et CD': le point cherché est (m, m').

On peut mener du point D deux tangentes à l'ellipse de gorge, et chacune d'elles est la projection d'une génératrice; mais celle que nous cherchons n'est pas du même système que (PQ.P'Q'), et par conséquent, lorsqu'on les regarde du centre 0, le point de contact de l'ellipse de gorge et la trace doivent être, l'une par rapport à l'autre, de côtés ditîérentssur ces deux lignes.

Le point [m, m') n'est pas le point central delà génératrice (CD, CD'), car, s'il

(') Il y a deux mélhodes pour construire un plan Q perpendiculaire à un plan P et passant par une droite D située dans ce plan. La première consiste à employer un plan auxiliaire M, perpendiculaire àD; les traces de P et de Q sur ce plan sont rectangulaires, et, l'une d'elles étant connue, on obtient facilement l'autre. Dans la seconde méthode, on élève une perpendiculaire N à P par un point quelconque de D, et l'on fait passer un plan par cette droite et par D. Celte dernière construction est généralement plussmiple, et, si nous avons préféré l'autre, c'est que le plan auxiliaire M nous sera nécessaire plus loin pour la détermination du paramètre, qui exige un plan Q' incliné à 45° sur P.