CHAPITRE V. — SURFACES QUI n'oNT PAS DE PLAN DIRECTEUR

Nous avons vu (art. 761) que les génératrices pour lesquelles le plan tangent à l'infini est vertical se projettent aux points P et P, ; par conséquent, quand un cylindre est circonscrit à une surface gauche, les génératrices qui correspondent aux branches infinies de première espèce de la courbe de contact (art. 658) ne sont pas, comme les arêtes, asymptotes de cette courbe.

L'ellipse QQ, se compose de quatre arcs. L'un d'eux est vu, un autre caché; les deux qui se trouvent compris entre ceux-là sont les projections des parties de la courbe situées en dehors des plans A,B, et C,D,, auxquels nous limitons la partie représentée de la surface.

766. Contour apparent sur un plan vertical parallèle à la directrice rectiligne Nous indiquerons comme un exercice graphique intéressant la construction du contour apparent de la surface sur le plan vertical OoO, {fig. 32i). Le cône directeur a deux génératrices 07 et 07, le long desquelles le plan tangent est perpendiculaire au nouveau plan de projection. A chacune de ces droites correspondent, sur la surface, deux génératrices qui ne rencontrent la courbe qu'à l'infini et dont les projections sont asymptotes du contour apparent sur le plan 0, Oj. Quand la surface a des arêtes, la courbe possède deux autres branches infinies.

Enfin le contour apparent présente des rebroussements aux sommets, parce qu'il y est tangent à la génératrice horizontale, et par suite au plan horizontal de projection, et que ce plan est évidemment un plan principal de la courbe.

767. Sections de la surface par des plans perpendiculaires à la directrice rectiligne. Considérons la section de la surface par le plan C,D, parallèle au plan vertical (fig. 32o) : si y est l'ordonnée de ce plan, la valeur de jc donnée par l'équation (2) sera l'abscisse du point (M,, M',) où il est rencontré par la génératrice considérée (N31, N'M'). En divisant cette longueur par cos w, on obtient le rayon vecteur O'M', du point M', de la courbe

0 M, = -j-cosoi — /..

La droite EF qui passe par les centres des directrices rencontre C, D, en un point (F,, F'j) dont l'abscisse est y^- Si l'on décrit un cercle sur O'F', comme

diamètre, la longueur ^cosw sera le ravon vecteur O'a, du point a,, déterminé "0 " 111

sur ce cercle par l'azimut oj; l'équation se réduit donc à

La longueur), est donnée par un radical du second degré et doit toujours être considérée comme affectée du double signe, de manière que l'équation (2) représente les deux génératrices parallèles qui correspondent à un même azimut w. Le 11. '8

2l8 LIVRE Vil. — SUllF.VCKS GAUCHES.

segment |j.M' doit en conséquence être porté sur la droite 0';j., , de p;irt et d'autre du point fx. On trouve ainsi les points M'j et m\.

D'après cela, les cercles 0' Y' et CD' étant établis sur la Ji gare, pour m oir des points de la courbe d'intersection de la surface par un plan perpendiculaire à la directrice rectiligne, il suffit de tracer un troisième cercle ayant pour diamètre l'abscisse O'F', du point où la droite qui passe par les centres des directrices circulaires perce le plan considéré, puis d'augmenter et de diminuer chaque rayon vecteur de ce cercle, mesuré à partir de l'origine 0', de la différence des rayons vecteurs des deux premiers cercles. Cette génération nous permet de considérer la courbe comme une conchoïde à plusieurs directrices (').

Sur Iay?o-. 32[, nous avons placé les plans A,B, et C,D,, qui limitent la partie représentée de la surface, de manière à obtenir pour les concboïdes des formes différentes de celles que nous avons trouvées sur \'àfig. Sao : le premier, A,B,, contient le sommet B,, et la section qu'il fait a un rebroussement, comme celle d'un conoide par un plan passant à l'un des sommets (art. 666); le second, C,D,, coupe la directrice rectiligne en un point où elle est utile, et par suite la conchoïde y a un point double. Cette courbe se construit toujours par la même méthode, à l'aide de trois cercles.

768. Si le plan C,D, s'éloigne du centre, la longueur Cp., croîtra indéfiniment et le segment p-M' restera constant; la courbe se rapprochera donc de la forme circulaire, et elle l'atteindra à la limite, en réunissant ses points deux à deux avec ceux du cercle diamétral O'F,. Nous pouvions prévoir ce résultat, car le cône directeur est coupé suivant des cercles parles plans qui sont parallèles au plan vertical.

On peut dire d'une manière plus générale que la surface possède à l'infini une ligne double, qui est une section conique. Dans le cas de la fig. 32 r, cette directrice est entièrement utile; dans celui de \^fg- Sao, elle est en partie parasite, et l'on voit d'une manière évidente que les sommets sont sur les arêtes, comme nous savons que cela doit être.

769. En se reportant h la^^. 216 (art. 369), on reconnaît que la sous-normale d'une courbe rapportée a des cooMonnées polaires est égale à la limite du rapport des accroissements du rayon vecteur et de l'azimut; or le rayon vecteur de la section C',D', [fig. 320) est une somme algébrique des rayons vecteurs de trois cercles :

La sous-normale se composera donc, de la même manière, des sous-normales des

(') On appelle en général conchoùle d'une ligne donnée la courbe dont les ravons vecteurs surpassent d'une longueur constante les rayons vecteurs de la ligne directrice.