CHAPITRE I. — OMlilU';S SUR LES FIGURES GÉOMÉTHALES. l

déterminer cette partie, nous allons chercher un tracé qui donne les points de la projection verticale directement, sans faire intervenir la projection horizontale.

Les triangles rectangles OSp. et OMF sont semblahles, et par suite nous avons

0;/:OS::OF:o:\i

ou bien

Ainsi les droites 0"0', X'iM' et S'to' partagent eu parties proportionnelles les horizontales 0"S' et O'm', et par conséquent convergent vers un même point M''. D'après cela, pour obtenir le point M' situé sur l'horizontale m', m', on peut tracer la tangente m').', puis la sécante S' m', et joindre par une droite les points X' et M" où elles rencontrent, l'une l'horizontale du point S', et l'autre l'axe. On trouverait le même point M' en opérant sur la tangente m^y.^ de la méridienne inverse, ainsi qu'il est indiqué sur la figure.

Cette construction fait trouver un point sur la trace verticale du plan de chaque parallèle. Quand la trace considérée passe entre les points Q' et^jr', le point est en dedans du contour apparent; dans le cas contraire, le point tel queB' est en dehors de ce contour, et par conséquent parasite.

532. La construction montre que la droite A', A' rencontre la projection de la ligne d'ombre en un point situé à l'intini. Sa parallèle 6'B' passe par ce point; si elle se transporte parallèlement à elle-même jusqu'à coïncider avec A', A', le point B' ira rejoindre celui que nous considérons à l'infini. La droite A', A' est donc asymptote de la courbe M'y'B' (art. 92j; la droite A", A" l'est également.

La courbe paraîts'arrèter à l'infini, mais cela tient à ce que nous ne nous sommes occupé que de la surface engendrée par la révolution du demi-cercle A'm'A". Si nous avions étendu les constructions à la surface complète, ayant pour méridienne un cercle entier, nous aurions trouvé que la projection verticale de la ligne d'ombre se compose de deux parties qui se rejoignent à l'infini (art. 182, 185). Ces parties correspondent à deux branches généralement distinctes, mais qui se réunissent quand le point lumineux est dans le plan du parallèle supérieur ou dans celui du parallèle inférieur. Nous donnerons plus loin quelques indications sur ce cas particulier (art. 879).

535. Si nous voulons construire la courbe par la méthode de l'article 546, pour avoir les points MetN situés dans un plan méridien 0;x, il faudra ramener le point p. en ),, le relever ensuite en ).', et mener de ce point des tangentes à la méridienne : les points de contact m' et n' feront connaître les parallèles sur lesquels sont les points cherchés. Il y en a deux, parce que le point X' est exté-

l6 I.IVUF. V. — OMDllKS LIINÉAIKES.

rieur à la iiiériilienne; s'il était en 7' sur cette courbe, les points m' et «'se confondraient en ce point, et le plan méridien ne contiendrait de la ligne d'ombre qu'un seul point situe sur le parallèle (]ui est à la bauteur du point lumineux. On voit d'après cela que, si l'on projette •/' en ■/, et qu'on ramène 7 en C et en C, sur le cercle OS, les points C et C, appartiendront a la courbe d'ombre, et que les droites OC etO(>, seront les traces des plans méridiens qui la luuclient.

5ji. 11 est facile de reconnaître que, si le point lumineux était dans le plan borizontal E'e' qui contient le cercle décrit par le centre de la méridienne, la projection borizontale de la courbe d'ombre aurait des parties parasites. On détermine facilement ces parties quand la méridienne est un cercle, ou une conique ayant l'un de ses axes parallèle à l'axe de révolution. Nous ne nous arrêterons pas à cette question. On [)eut remarquer (|ue la construction que nous avons donnée pour les arcs parasites sur le plan vertical est toujours applicable, quelle que soit la méridienne.

5oo. Les rayons (SQ, S'Q') et ^Sy, S'y') sont parallèles au i)lan vertical, et par suite l'ombre portée sur ce plan a deux brancbes infinies. Les asymptotes sont les droites S'Q' et S'y', traces, sur le plan de la courbe d'ombre portée, des plans tangents au cône le long des génératrices qui lui sont parallèles.

Le plan vertical SI), étant tangent au cône d'ombre, sa trace verticale 00' tonclie la courbe d'ombre portée sur le plan vertical de projection, au point 0*', ombre de (D,D' j.

111° ExERCiCK. — Riiyoïis piirallèlcs clans une diiuction qncUonque . i Fig. 21 5.)

556. Les données sont l'axe (0, 0"Z) de la surface, la méiidionne m^a'm'h' , qui est symétrique par rapport à cette droite, et la direction (R, R'j des rayons de lumière.

Premier procédé : cônes circonscrits. — Considérons un parallèle (MN/?2,M'N'/n') cboisi arbitrairement, et traçons la tangente m' z de la méridienne à l'un des points où il la rencontre : le cône engendré par la révolution de cette ligne autour de Taxe toucbe la surface aux diflerents points du parallèle (M/w, M'/w') (art. 545); par conséquent, si l'on construit les plans qui sont tangents à ce cône et parallèles à la droite (R.R), les points où les génératrices de contact rencontreront le parallèle appartiendront à la courbe d'ombre.

Pour plusieurs des parallèles que l'on devra successivement considérer, le sommet du cône sera hors du cadre de l'épure. On lève cette difficulté, et l'on simplifie la construction en abaissant ou en élevant le cône, de manière que son sommet arrive à un point fixe (0, 0'), cboisi arbitrairement sur l'axe. La génératrice [Om, zm') prend la position (O/n,, O'/jl'J et le cercle [J-^v^ est la trace borizontale du cône transporté.