CHAPITRE I. — OMBRES SUR LES FIGURES GÉOMÉTRALES. — PL. XIV. I

diculaire aux rayons. Par conséquent, si nous faisons tourner tout le système autour de l'axe, de manière que la droite (Or, 0>') prenne la position (Or,, OV, ) parallèle au plan vertical, la ligne d'ombre de la sphère se projettera sur une droite passant par le centre i, et perpendiculaire à 0'r\. Nous n'avons tracé de cette droite que le segment /;', utile à la construction. Le point e' est la projection de deux points de contact qui appartiennent au parallèle commun à la surface de révolution et à la sphère. La projection horizontale s de ce point doit être ramenée dans sa véritable position e; la droite MeN perpendiculaire à Or est alors la projection horizontale de la ligne qui se projetait verticalement en e'. Elle détermine les points M et N sur le parallèle considéré m, m.

565. Si l'on trace la droite m'k parallèle à 0'r\, et par le pointa une ligne parallèle à la tangente m'z, cette droite coupera la projection m'W du parallèle au point e', car les perpendiculaires abaissées des sommets d'un triangle m'ik sur les côtés opposés se rencontrent en un même point e'. Cette construction, n'exigeant que des parallèles, est un peu plus facile que la précédente, dans laquelle il faut abaisser des perpendiculaires.

564. La conslruclion fait trouver un point e' sur toute droite îM'm' trace du plan d'un parallèle, mais quelquefois elle le donne en dehors de la méridienne de front, et alors le point e n'est pas dans l'intérieur du parallèle, et ne correspond à aucun point de la surface.

Le point s' est la projection d'un point de la courbe d'ombre pour des rayons parallèles à (Or,, 0'r\). Lorsqu'il est en dehors du contour apparent de la surface, il appartient à la partie parasite que la courbe doit avoir sur le plan vertical, lorsque les rayons sont parallèles à ce plan (art. 551). Nous avons donc un moyen facile de déterminer les points parasites.

En appliquant les raisonnements de l'article 552, on voit que la courbe lieu des points e' a en général pour asymptotes les tangentes horizontales de la méridienne; mais quand les points 0" et O'', où les tangentes sont horizontales, se trouvent sur l'axe même, la construction n'indique plus sur ces droites des points à l'infini. Dans ce cas, si la méridienne est une courbe graphique, le lieu des points s' s'arrête brusquement aux horizontales des points 0"' et 0" (').

565. On peut employer le procédé des sphères inscrites dans le cas des rayons divergents, mais alors, pour déterminer le cercle d'ombre de chaque sphère considérée, il faut tracer le grand cercle situé dans le plan méridien principal, et lui mener des tangentes du point lumineux ramené dans ce plan par une rotation. Cette construction peut être employée comme exercice graphique.

(') Le lecteur qui voudrait avoir des détails plus étendus sur les arcs parasites des projections des courbes d'ombre des surfaces de révolution pourrait consulter le Mémoire que nous avons publié dans le XXXV cahier du Journal de l'École Polytechnique (i853).

20 LIVRE V. — OMIilli:S LUNtAlUliS.

566. La siiifacc (Fil, F'H'] [Jig- 2i5) est un cUipsoMlc, cl par cunst''f|iienl sa ligne (rombic esl une courbe plane (' j, une ellipse. Les axes de sa projecliun liorizontale sont Ali et GE. Les droites A'O'li' et (i'0"E' sont des diamètres conjugués de la projection verticale.

Si l'on fait tourner tout le système autour de l'axe, juscju'a ce (jue la droite (Or, O'r') soit de (Vont, les points A' et B' iront en a' et b', et la courbe d'ombre se projettera sur le diamètre a'O'b' conjugué avec la direction des tangentes en a' et en h', (|ui est celle du rayon O'r',. (>e diamètre passe nécessairement par le [loint î .

567. On peut déduire des constructions précédentes un moyen pour tracer la tangente en un point donné m' d'une ellipse dont on connaît un axe 0"Z, un diamètre a'b' et une droite 0'r\ parallèle au diamètre conjugué de a'h'. Si, en efl'et, on trace les lignes m'k et m' s', l'une parallèle àO'r', , l'autre perpendiculaire à 0"Z, la droite déterminée par les points do rencontre s' et k sera parallèle à la tangente en m'.

Pour déterminer sur une ellipse les points où la tangente esl parallèle à une droite donnée, on tracera à une distance arbitraire une droite £'/• parallèle à cette tangente {/ig. 21 5 ou 258), et par les points k et e', où elle rencontre l'un des axes efun diamètre quelconque a'b', on tracera les droites km' et e'm' respectivement parallèles au diamètre conjugué de a'b' et au second axe. Si le sommet m' du triangle i'krn' est sur l'ellipse, il sera l'un des deux points cliercliés; dans tous les cas, il déterminera un diamètre O'm' qui passera par ces points, car 0" est évidemment un centre de similitude de tous les triangles ainsi formés (^y.

568. Transformation qu'éprouve la ligne cVombre d'une surface de réioludon éclairée par des rayons parallèles , lorsque l'on considère la surface engendrée par la méridienne transportée dans son plan parallèlement à elle-même. — Supposons maintenant que la méridienne ait été éloignée de l'axe par un mouvement de translation dirigé perpendiculairement à cette droite, et considérons la surface qu'elle engendre dans sa révolution.

Si l'on transporte la première surface de manière que son méridien (FH, F'O"!!')

(') Il sera démontré dans le Livre VII, à l'occasion de l'hyperboloïde, que les lignes d'ombre des surfaces du second ordre sont dos courbes planes (art. 716).

{') 11 est facile de voir que l'on peut remplacer les axes par un second système de diamètres conjugués : on établit d'abord le théorème pour le cercle, puis on létend à l'ellipse en faisant une projection. La construction, élant démontrée pour l'ellipse, et ne s'appuyant que sur des lignes et des poinls qui subsistent dans l'hyperbole, s'applique naturellement à celle courbe.

Pour démontrer la construction dans le cas du cercle, il suffit de remarquer que sur une Dgure faite pour cette courbe les droites //// et î'm' (fig. 258') seraient respectivement perpendiculaires aux diamètres a'b' et 0"X comme étant parallèles aux diamètres qui leur sont conjugués, et que, les trois hauteurs du triangle 0"i'/,- devaiit se couper en un même point, le diamètre 0"/«' serait perpendiculaire à s'A.

CHAriTUK I. — OMBRES SUR LLS FIGURES GÉOMÉTRALIiS. — PL. XIV. 21

aille coïncider avec le méridien (F, H,, F, o/H'j ) de la seconde, les deux surfaces seront tangentes le long de celte ligne. Comme d'ailleurs les rayons de lumière sont parallèles, la ligne d'ombre de la surface transportée ne sera pas modifiée. Les points C, et D,, nouvelles positions des points C et D, appartiendront donc à la projection horizontale de la ligne d'ombre de la seconde surface. Cette courbe a sur la droite xy deux autres points correspondant à la méridienne transportée en sens inverse, et dont un seul, C., a pu être placé sur la figure. On opérera de la même manière pour un méridien quelconque 00,; chaque point de l'ancienne ligne d'ombre sur le plan horizontal sera ainsi transporté, d'un côté comme de l'autre, de la longueur constante Ooj dont tous les points de la méridienne ont été déplacés.

La projection horizontale Q<b . . . , yy . . . étant déterminée, on obtient facilement la projection verticale ô'ii/'. . . ,-j o' . . . .

La construction que nous venons d'exposer permet de tracer rapidement, dans le cas de rayons parallèles, les lignes d'ombre des surfaces engendrées par la révolution d'une courbe du deuxième degré autour d'une droite située dans son plan et parallèle à l'un de ses axes. Tout le tracé sur le plan horizontal se réduit alors à construire une section conique et à transformer cette courbe en augmentant tous les rayons vecteurs d'une quantité constante (').

569. Nous allons rechercher comment on peut obtenir les tangentes de la nouvelle ligne d'ombre lorsque l'on connaît celles de la première courbe GE.

Soient Om et On [fig. 216) les rayons vecteurs de deux points m et n d'une courbe, et mg un arc de cercle dont le centre est à l'origine 0. Si l'angle mQn est assez petit pour que le triangle m-^n puisse être considéré comme rectiligne, on aura

tan£ri?7/2/j =

ff«

Om X nOw

Supposons maintenant ([ue l'on augmente les rayons vecteurs de tous les points de la courbe considérée d'une longueur m^\ constante, mais d'ailleurs arbitraire; le triangle gmn deviendra G.MN, et l'on pourra écrire

tani^GMN =

GN __ ,^7i

OM X NOM OM X «Oni

Les tangentes trigonométriques des angles gmn et G.AIN sont donc inversement proportionnelles aux rayons vecteurs Om et OM.

(') Cette construction a été donnée par M. Dunesrae [Comptes rendus de l'Académie des Sciences, ■2° semestre de 18J7).

22 UVlili V. — OMIillKS LlMiAlIiliS.

Mainlenai)f, Irarons mK et OK respectivement perpendiculaires à mn et 0/n, et joignons KM : les tangentes trigonométriques des angles KmO et KMO sont inver-

sèment proportionnelles aux rayons vecteurs Omet OM, maisK/nO est égal \\ gmn

comme formé par des perpendiculaires ; donc KMO est égal à GMN, et KM est perpendiculaire \\ MN.

Les droites indéfinies mn et MN sont, à la limite, tangentes aux courbes; les lignes mK et MK sont donc normales, et par conséquent on peut exprimer le résultat auquel nous sommes arrivé en disant que les sous- normales de la iransformée sont égales à celles Je la courbe primiinc.

D'après cela, si l'on élève des normales à l'ellipse GE (Jig. 21 5) en des points a et /3, les points p et a où ces droites seront coupées par le diamètre perpendiculaire à a/j seront sur les normales de la transformée aux points homologues a, ct/3, (').

IV' ExiiBclcii. — Rayons ptirtitlclcs nyant leurs projections inclinées à 45" sur la ligne de terre. — Méllioile des projections obliques. (Fig. 217.)

570. Une méthode assez commode, et souvent employée pour déterminer les lignes (l'ombre des surfaces, consiste à choisir un certain nombre de génératrices convenablement espacées, et à déterminer leurs ombres sur un plan. Pour une surface de révolution, on prend des parallèles; l'ombre de chacun d'eux sur un plan perpendiculaire à l'axe est un cercle de même grandeur.

571. Considérons un vase ayant la forme du solide de révolution représenté sur la /ig. 217; nous déterminons facilement sur le plan horizontal les ombres du carré supérieur du socle et de diirérents parallèles. Nous avons fait cette construction sur la figure spéciale 218, en supposant le vase éloigné du plan vertical.

L'ensemble des cercles de cette figure fait connaître avec exactitude le périmètre de l'ombre que projetteraient sur le sol des disques minces qui occuperaient la position des parallèles, et d'une manière approximative la ligne de l'ombre portée par la surface de révolution.

Celte courbe doit être tangente à tous les cercles, car en considérant les ombres sur le sol comme des projections obliques, nous pouvons leur appliquer les raisonnements que nous avons faits à l'article 149 pour les contours apparents : en un point de la courbe d'ombre propre, le plan langent est parallèle aux rayons de lumière, et par conséquent il projette obliijuementsur sa trace toutes les lignes

(') Cette construction est celle que l'on emploie pour les tangentes des conctioïdes. On la rallache généralement à la méthode de M. Chasles pour les normales à la courbe décrite par un point d'une figure de forme invariable [Aperçu historique, p. 548); mais nous avons dû présenter une démonstration plus élémentaire.