CHAPITRE 1. — THÉORIE GÉNÉRALE

droit, R' sera infini, et la transfoi'mée de la courbe considérée aura une inflexion. Si le plan osculateur est perpendiculaire à une génératrice, il coupera à angle droit deux plans tangents consécutifs, et la transformée de la courbe aura avec sa tangente un contact du troisième ordre. Nous avons déjà établi ces propositions pour le cône (art. I69j.

4-78. Une courbe tracée sur une surface développablc passe d'une nappe a l'autre avec un rebroussenient de premier ordre, à moins qu'elle ne soit tangente à l'arête enveloppe des génératrices. Le rayonR étant nul, R' lésera également, et la transformée aura, elle aussi, un rebroussement de premier ordre. Si cependant le plan osculateur de la courbe est perpendiculaire au plan tangent, au point où elle rencontre l'arête de rebroussement, cosN sera nul comme R, et la formule ne donne aucune indication sur la grandeur de R'.

Pour voir ce qui arrive, supposons que le plan osculateur soit perpendiculaire au plan tangent de la surface, non pas au sommet du rebroussement, mais à une petite distance de ce point : la courbe ABC ifig- 24G;, transformée par développement de la courbe primitive, aura une inflexion en un point i voisin du rebroussement, et le bras BA traversera la tangente BT. Quand le point d'inflexion est très-rapproché de B, le point? se trouve sensiblement sur la tangente BT, et le rebroussement, quoique matbématiquement de premier ordre, se présente grapbiquement comme de second ordre. Si la courbe tracée sur la surface éprouve des modifications telles, que le point d'inflexion de la transformée se déplace, lorsque ce point sera parvenu en B, le rebroussenient sera rigoureusement du second ordre, et il paraîtra l'être jusqu'à ce que l'inflexion i soit assez éloignée pour que la partie du bras BC passée de l'autre côté de la tangente se détacbe de cette ligne.

On voit donc que, quand le plan osculateur de la courbe au point de rebroussement est perpendiculaire au plan tangent de la surface, le rebroussement de la transformée est géométriquement du second ordre, et qu'il parait avoir les deux bras d'un même côté de la tangente, quand la perpendicularitc a lieu près du point de rebroussement.

479. La réunion d'un point d'inflexion à un point de rebroussement élevant l'ordre du rebroussement d'une unité, si deux points d'inflexion i et i' viennent se confondre en B ijig- 2/47), le rebroussement deviendra du troisième ordre; mais alors le plan osculateur, étant perpendiculaire à deux plans tangents consécutifs, sera perpendiculaire à leur intersection, c'est-à-dire à la génératrice qui passe par le point et à l'arête de rebroussement qui lui est tangente.

Le rebroussement de la transformée est donc du troisième ordre, quand le plan osculateur de la courbe au point de l'ebroussement est normal à l'arête.

480. Pour faire le développement d'une surface dévcloppable, on considère un certain nombre de génératrices assez rapprochées pour (jue les parties de la sur-

64 LIVllE VI. - SURFACES DÉVELOfPABLES.

face qu'elles eompreiineiU puissent être regardées comme planes, et on l'assimile ainsi à un poljètlre développable ayant un grand nombre i\ç facettes. La construction se fait ensuite facilement : nous en donnerons plus loin un exemple (art. 492). Dans quelques cas particuliers on peut simplifier les opérations, en ayant égard aux formes spéciales des transformées de certaines courbes.

481. Si l'on développe un polyèdre développable sur le plan d'une face, et sa pyramide directrice sur le plan de la face parallèle, les arêtes bomologues des deux surfaces seront évidemment parallèles après le développement, comme elles l'étaient auparavant. Nous voyons donc, en passant à la limite, que, si ion développe une surface développable sur son plan tangent le long d'une génératrice, et le cône directeur sur son plan langent le long de la génératrice parallèle, les génératrices liomologues seront encore parallèles après le développement.

482. Les lignes géodésiques d'une surface développable, c'est-à-dire celles dont la longueur entre deux points donnés, sur une même nappe, est un minimum, ont pour transformées des droites; leurs rayons de courbure deviennent donc infinis dans le développement, et par suite, les angles N étant droits, les plans osculateurs sont normaux à la surface.

485. Pendant qu'on déroule une développable, la partie transformée d'une ligne géodésique est droite, et l'un quelconque de ses points décrit une développante de cette courbe. La trajectoire d'un point est donc une développante de l'une quelconque des lignes géodésiques qui passent par ce point. Inversement ces lignes sont les développées de la trajectoire.

Toute ligne peut être décrite de cette manière par un point déterminé du plan de développement de la surface développable enveloppe de ses plans normaux. On voit donc qu'une courbe a une infinité de développées; elle est l'intersection commune de toutes les surfaces développables dont ces lignes sont les arêtes de rebroussement.

Nous n'avons considéré pour une courbe plane qu'une développée, celle qui est dans son plan, mais il y en a, comme on voit, une infinité; elles sont situées sur un même cylindre.

484. Deux surfaces développables flexibles peuvent être appliquées l'une sur l'autre, de manière que leurs génératrices restent droites, toutes les fois que leurs arêtes de rebroussement ont une même transformée plane; car elles ont alors un développement commun que l'on peut ramener à Tune ou l'autre des deux formes primitives.

Deux cônes quelconques sont applicables l'un sur l'autre avec coïncidence des génératrices; il en est de même de deux cylindi'es. Nous supposons que ces diverses surfaces peuvent être déroulées indéfiniment; sans cela, deux cylindres ne pourraient être com[)létement appliqués l'un sur l'autre, que si leurs sections droites avaient la même longueur.

CIIAPITRK I. — THÉORIE GÉNÉRALE. 65

Obsej'vations sur la distance des génératrices consécutives d'une surface

développable.

485. Deux arêtes conséculives il'iin polyèdre (]éveloppal)Ie appartiennent h une même face et par conséquent deux génératrices infiniment voisines d'une surface développabic sont dans un même plan. D'un autre côté, deux tangentes d'une courbe gauche ne se rencontrent pas, si rapprochés que soient les points de contact. Pour concilier ces résultats, qui semblent contradictoires, nous allons chercher quel est l'ordre de grandeur de la distance de deux tangentes à une courbe gauche, quand l'arc qui sépare les points de contact est infiniment petit; en d'autres termes, quelle est la limite du rapport de cette distance à l'arc.

La Jig. 2o4 représente les projections d'une courbe gauche sur trois plans rectangulaires : le premier, (jue nous supposons horizontal, est parallèle aux droites qui touchent cette ligne en deux points peu éloignés M cl N; les deux autres sont l'un parallèle et l'autre perpendiculaire à la tangente au point M.

La droite [i,i\i') est la commune perpendiculaire des deux tangentes; sa longueur i''l^ est égale ii W n, et en traçant la droite N"M" on obtient

i'i\ = M"rt tang7iM"N" = M^tangiNMg-tang/zM"N".

Si l'on suppose que le point (N, N') se rapproche du point (.M, .M'), le plan horizontal de projection tournera autour de la tangente MM", et le plan osculateur en M sera la limite de ses positions. Le plan (MM", M"N") qui contient la tangente en M et le point (N,N") a la même limite, et par suite l'angle N"M"« devient infiniment petit quand la distance des points considérés est elle-même infiniment petite. Les deux premiers facteurs du second membre de l'équation deviennent également infiniment petits, et en conséquence la distance des deux génératrices est un infiniment petit du troisième ordre (').

Quand deux quantités infiniment petites se trouvent en présence, on doit négliger celle qui est de l'ordre le plus élevé; par conséquent, on peut dire que deux droites qui touchent une courbe gauche en des points infiniment rapprochés se rencontrent; mais si, dans une question relative h une surface développable, autre qu'un cône, il y avait lieu de considérer des infiniment petits de troisième ordre, la distance de deux génératrices consécutives ne serait pas négligeable.

Des considérations de cette nature se présentent assez souvent dans la théorie des lignes et des surfaces courbes. L'angle de contingence d'une courbe est infiniment petit (art. 95), et par conséquent on le néglige devant des quantités finies;

(') Ce lliéoréme est dû à M. Buiiquel {Joiuiml de .1/. Liaiivillr, t. XI, 1846)

on dil ainsi que l'angle d'uno courbe avec une droite est égal à l'angle de sa tangente avec cette droite, bien qu'il y ait une différence égale à la moitié de l'angle de contingence. Mais il y a beaucoup de questions, telle que celle de la détermination du rayon de courbure, où cet angle ne doit pas être négligé, parce qu'il n'est pas ajouté à une grandeur ilnie et qu'il intervient par son rapport avec une quantité de même ordre de grandeur.

Lorsque deux courbes se rencontrent sur une développable, l'angle formé par les arcs dont les concavités sont opposées s'accroît, dans le développement de la surface, de la moitié de la somme des augmentations des angles de contingence; mais cette quantité doit être négligée auprès de la grandeur finie de l'angle des courbes, et par suite les transformées comprennent le même angle que les lignes primitives (art. 472).

Quand on rencontre des difficultés du genre de celle à l'examen de laquelle nous consacrons cet article, on doit toujours recbercber l'ordre de grandeur des difl'érentes quantités que l'on considère; on peut alors remplacer par des propositions rigoureuses des énoncés qui ne paraissent être en contradiction que parce qu'ils sont incomplets. Jusqu'à présent, pour éviter toutes difficultés et toutes objections, nous avons employé la métbode des limites; mais dans la suite de ce Traité, quand, dans une question relative ;i une surface développable, il n'y aura pas lieu d'avoir égard aux infiniment petits du troisième ordre, nous dirons que deux génératrices consécutives se rencontrent.

486. Pour donner un exemple des circonstances où l'on peut être conduit à considérer des infiniment petits d'ordre différent, nous allons démontrer que le cône directeur d' une développable en est osculateur le long de la génératrice commune, quand son sommet se trouve en un point de l'arête de rehroussement, et pour cela nous allons faire voir que les sections faites dans la surface et dans le cône ainsi placé, par un plan perpendiculaire à la génératrice commune, sont osculatrices.

Considérons trois arêtes consécutives am, bn et bo d'un polyèdre développable {Jig. 2o5), et coupons-les par un plan P perpendiculaire à bo : si nous supposons que la pyramide directrice ait son sommet au point a, les arêtes am et an lui appartiendront, et l'arête parallèle à bo sera une droite ao' située dans le plan nbo. A la limite, les angles /nanetTiio seront infiniment petits, ainsi que le segment ab compris sur l'arête de rebroussement entre les points de contact des deux génératrices consécutives. 11 suit de là que les côtés mn et no seront infiniment petits du premier ordre, et le segment oo' infiniment petit du second, car il est égal

à ab sin nbo; on doit donc le négliger auprès des longueurs mn et no, et par conséquent les sections faites dans les deux surfaces par le plan P ont trois points communs infiniment voisins et sont osculatrices.

CMAPITHIÎ 11. — SUni'ACES D'oMBRE KT Dli PÉNOMBRE. — PL. XXIV. 67