CHAPITRE II. — SUIiFACES D OMBRE ET DE PENOMBRE. 7I
Étude abstraite de la surface examinée dans le paragraphe précédent.
494. Les conslructions et les raisonnements que nous venons de présenter sont presque tous applicables à deux courbes quelconques situées dans des plans parallèles et ayant un plan principal commun BB, {fig. 255); maintenant, en nous appuyant plus complètement sur les propriétés des directrices, nous allons déterminer la nature de la courbe à laquelle appartient la ligne d'ombre IQl, [fig. 261), et les diirérentes formes qu'elle peut avoir.
Nous prenons pour axes les droites kx, hy et A'; [fig. 261 et- 2G2); nous supposons que les directrices sont des coniques ayant leurs axes dans les plans coordonnés : ces axes sont BB, et E', E' pour la première, CC, et F', F' pour la seconde ; nous appelons «, /5, 7 et a', jS', 7' les coordonnées de deux points des directrices situés sur une même génératrice; enfin nous représentons les longueurs
AO, AB, A'E', OC et O'F' par
a, b, c, b' et c'.
Nous avons
La condition que les tangentes des courbes aux points considérés soient parai-' lèles donne
Enfin la génératrice qui passe par les points considérés a pour équations
Pour avoir la trace horizontale de la surface, il faut d'abord faire z nul dans les équations de la génératrice, ce qui donne les relations
et ensuite éliminer les quatre variables auxiliaires /B, {'j .'i et 7' entre les équations (i), (2), (3), (4) et (5). On peut faire disparaître successivement /5', /3 et 7'
-2 MVRE VI. — SURFACES DKVELOPPABLES.
en prcii;int respectivement leurs valeurs dans (3), (i) et (5). On obtient ainsi les deux équations
Enfin l'élimination de 7- donne
, , a'' x' {x — rtl'
La courbe est donc une section coni(|ue, et il est facile de voir que dans notre exercice c'est une ellipse. L'un des axes se confond en direction avec l'axe des abscisses; l'autre est parallèle à l'axe des ordonnées. On peut véritîer que la courbe touche les génératrices horizontales aux points I et I,.
494 (/. On arrive par des raisonnements très-simples à reconnaître que la courbe PIQ est une ellipse.
Pour mener d'un point quelconque un plan langent à la développable, on peut considérer ce point comme le sommet de deux cônes respectivement circonscrits aux deux directrices et par suite du second ordre, puis leur mener un plan tangent commun. Deux coniques, traces de ces cônes sur un même plan, ayant quatre tangentes communes, on voit que par un point quelconque passent quatre plans tangents à la développable.
Si le point est pris sur le plan de projection de \a Jig. 261, les quatre plans tangents auront, par rapport à ce plan, des positions symétriques, et leurs traces se confondront deux à deux. Or ces traces sont les tangentes qu'on peut mener du point considéré à la courbe PIQ: leur nombre étant de deux, cette ligne est une conique ( ' ).
49o. La développable peut être considérée comme déterminée par l'ellipse horizontale IQI, et par l'une des deux premières directrices; alors, en raisonnant comme à l'article 438, nous trouvons que l'ellipse IQI, a deux arcs parasites ]i et I|î, , et deux arcs utiles II, et»,. Les génératrices qui se coupent aux différents points de l'arc li, sont alternes par rapport aux deux premières directrices; elles forment donc la surface de la pénombre. Rien n'indique en effet dans nos formules si la génératrice que l'on considère est alterne ou externe, et par suite l'équation (7) doit représenter la trace horizontale des deux parties de la développable. Nous n'avons pas tracé les génératrices de la surface de la pénombre, par crainte de confusion.
( ' ) Celle diîmonstralion est extraite des feuilles litliographiées du Cours professé à l'École Polyteclinique par M. Mannheim.
CIIAI'lTnii II.— SURFACES U OMBP.E KT DE PEiSOMBIiE. 'ji
On peut obtenir la position précise des sommets i et /', en traçant des droites par les centres de courbure des directrices pour les points B, et C, et pour les points B et C,. Si les deux courbes étaient des ellipses ou des hyperboles, ces droites seraient distinctes de celles qui nous ont fait connaître la position précise des sommets I et 1, (art. 495); niais, la première directrice étant un cercle, les centres de courbure pour les points B et B, sont réunis en A, et par suite les sommets sont deux à deux sur les lii^nes Ac et Ac,. Du reste, nous allons voir à l'article suivant que, dans tous les cas, les droites If eti,/, sont dirigées vers le point A.
49(ï. Nous avons un quadrilatère inscrit 11,/,/, et un quaihilatère circonscrit GC, HC, disposés de telle manière que les sommets du premier sont les points de contact des côtés du second; par conséquent, et d'après des théorèmes connus (') :
Les diagonales h', et \J du premier passent par le point de rencontre 0 des diagonales du second.
Les points de concours des côtés opposés du premier sont sur la droite BB, qui passe par les points de concours des côtés opposés du second : les droites \i et 1,«| convergent donc vers le point A.
La droite BB, est la polaire du point 0, et par suite la droite CC, a son pôle en A.
i97. La surface possède une ligne double dans le plan vertical de projection (art. 491); on la construit de la même manière que celle du plan horizontal, et l'on obtient son équation par de simples permutations dans l'équation (7) :
[X — ni
Avec les données des//^-. 261 et 262, cette coni([ue est une hyperbole; elle n'a aucune importance dans le problème d'ombre, mais pour la surface, et par rapport aux directrices, elle présente les mêmes particularités que l'ellipse PIQ : ainsi elle a deux arcs utiles J'J', et y'/,; leurs extrémités sont deux à deux sur les droites qui vont du centre A' du cercle aux points/' et/',, centres de courbure de l'ellipse aux sommets F' et F, .
Les deux directrices sont elles-mêmes des courbes d'intersection des surfaces d'ombre et de pénombre; la développable complète a donc quatre lignes doubles planes et du second degré.
498. La projection horizontale de l'arêle de rebroussement de la surface
(' ) On trouve ces théorèmes dans les principaux Ouvrages relatifs aux sections coniques, et notamment dans le Traité des Propriétés projcctwcs (art. ISj et 186). Le lecteur qui ne les connaîtrait pas peut vérifier, à l'aide de l'équation (7), les relations que nous indiquons.
