On déduit de l'équation (i

g\i X uni s-'Sl X uni £-M X uni

gm X «< M [ gu -+- uni)[ uni -!- m M ) gu X /" M + um (gu -+- um -t- m M )

I gu X m M X ({M X um

et enfin

en posant

^ ' g Al m M

On obtient par des transformations analogues

. „ I gm M /n . „

I — À gu ' iàu IF.

X' et )." sont deux nouveaux rapports anharmoniques des points de division. Quatre points en ligue droite déterminent ainsi trois rapports anliarmoniques distincts, qui ont entre eux des relations simples.

516. Si nous portons les valeurs (i i) de b'- et de c'- (art. JiOo) dans l'expression (i3), et la quantité ainsi obtenue pour ). dans Téquation (i5j, nous aurons

Ouand /; est nul, la valeur de À' se réduit à 7- et nous savons que A, A" et A'"

sont alors concentriques et que A' est à l'infini (an. 508). Lorsque le point m

s'éloigne, le rapport — 77 t'onver^e vers l'unité et atteint cette limite quand la

directrice à laquelle il appartient est à l'iniini. On a donc, dans le cas qui nous occupe,

g" ^ 9' gM b'

Cette relation, qu'il est facile d'obtenir directement, montre que, dans la ddveloppahle circonscrite à deux coniques concentriques, les segments interceptés par les trois directrices sur une génératrice sont dans un rapport constant.

Le rapport de gu à g'Sl [fig. 261) est le même que celui de tu à AM. Les directrices A" et A étant d'ailleurs devenues concentriques, les longueurs tu et AM sont les abscisses des points u et M de ces courbes, mesurées sur la droite diamétrale commune Ar; donc, si l'on considère les points où une génératrice rencontre deux directrices, leurs abscisses sur le diamètre commun seront dans un iripport constant.

517. Groupes de génératrices. Considérons quatre points M, N, R et S situés sur la première directrice A {/ig. 255), et disposés de manière à former les sommets d'un quadrilatère ayant ses côtés parallèles aux diamètres conjugués parallèles de A et A' : par ces points passent huit génératrices qui se croisent aux points m. n, r et s placés d'une manière analogue sur A'. Ces génératrices sont

Mm, Nn,

Ss, Rr,

Nr, M*,

Rn, Sm.

Les quatre d'entre elles qui appartiennent à la surface de la pénombre ont été tracées par exception.

518. Nous regarderons ces huit droites comme formant un groupe, et appartenant à deux systèmes différents. Chaque génératrice de l'un des systèmes rencontre celles de l'autre qui dépendent du même groupe en des points qui sont