CHAPITRE m. — SURFACES DECALE PENTE

W Exemple. — Excanitio/t faite dans un terrain incliné, m'ec talus réglés à une inclinaison donnée. (Fi g. 273.)

552. On propose de représenter une excavation dont l'ouverture sur le plan incliné XY est l'ellipse (AB, A'B'), et dont le fond est établi sur le plan horizontal xy : les talus sont réglés à une pente uniforme qui est donnée.

La surface est l'enveloppe des positions d'un cône de révolution dont les génératrices ont une pente connue, et dont le sommet parcourt la directrice (art. 467) : sa trace sur le plan xy est l'enveloppe des traces du cône.

Nous prenons sur la directrice AB des points de division placés d'une manière symétrique par rapport aux axes, puis, menant par la projection verticale B'de l'un d'eux une droite B'G ayant la pente donnée, nous obtenons la longueur LG du rayon du cercle, trace horizontale du cône lorsque son sommet est au point (B,B'). Nous trouvons de la même manière que le rayon de la trace est KF lorsque le sommet est an point (A, A'), et nous pourrions construire ainsi les rayons pour toutesles positions considérées du cône; mais, comme ils sont évidemment proportionnels aux hauteurs du sommet au-dessus du plan xy, c'est-à-dire aux ordonnées de la ligne XY, nous pouvons tracer une droite /g' dont les ordonnées seront les rayons cherchés. Nous en obtenons deux points/et g en portant les longueurs KF et LG en K/elLg{'). La trace horizontale de la surface est l'enveloppe des cercles décrits des points de division de l'ellipse comme centres, avec les ordonnées correspondantes de la Wgne/g pour rayons.

555. Le point c où le cercle dont le centre est C touche l'enveloppe appartient à la génératrice Ce de la développahle et peut servir à la tracer. Si l'on veut apporter plus de précision dans la construction, on mènera par la tangente CT de la directrice un plan tangent au cône dont le sommet est (C, C) (art. 468).

Nous avons fait l'opération en prenant le planrc.r, pour plan horizontal. Les points de contact m et n appartiennent l'un à la génératrice cherchée, l'autre à la génératrice de la nappe extérieure que nous négligeons, parce qu'elle ne présente aucun intérêt dans la question spéciale qui nous occupe.

Si le point T était sur le cercle, la tangente de la directrice au point (C, C) serait une génératrice du cône et de la développahle, et ce point serait un sommet (art. 468). Quand la tangente (CT, XY) est moins inclinée que les génératrices du cône, le point T est dans le cercle, et le point C appartient à un arc parasite de la courbe. Dans le cas où la tangente la plus inclinée de la directrice ferait avec

{ ' ) L'axe (AB, A'B' ) de l'ellipse est une ligne de plus grande pente du plan XV. Il résulte des symétries qu'introduit celte disposition, que les génératrices issues des sommets A et B sont parallèles au plan vertical, et qu'on peut obtenir les points /et ^, en prenant les longueurs K/et Lg égales à K«' etL6'.

IIO LIVRE VI. — SURFACES DEVELOPPABLES.

le plan liorizontal un angle plus grand que celui des génératrices du cône, la surface n'existerait pas : cela n'arrivera jamais quand la directrice sera fermée, car elle aura alors des tangentes horizontales.

o5i. On voit, par la construction que nous avons exposée, que sur une surface d'égale pente les deux génératrices iZm et Cn, qui se croisent en un même point C de la directrice, font des angles égaux avec cette courbe dans l'espace et en projection horizontale.

Sur la ^^. 273, l'enveloppe des cercles n'a ni points doubles, ni rebroussements, ce qui montre que le plan xy ne rencontre pas l'arête de la développable.

Étude de la surface d'égale peutc circouscrite à une cuuiquc, dans le cas oh l'uu des axes de cette courbe est une ligue de plus graude pente de son plan.

5oo. D'après la position que nous supposons à la directrice A, nous pouvons la représenter par les équations

La génératrice qui passe par le point considéré appartient au cône directeur, placé de manière à avoir son sommet à ce point, et par suite les coordonnées de 1 un quelconque des points de cette droite satisfont à l'équation du cône

[x - a)= + (j>'- [if = i-{z. - maf.

i est la cotangente de l'angle que les plans tangents de la surface font avec l'horizon. Cette équation, ordonnée par rapport à a et à /3, devient

(2J (1 — m-i-)u- + p- + a mi- z — x)a — ar,'5 -1- a-^ + y- — r z- =0.

La développable étant l'enveloppe des positions du cône, la génératrice ne cesse pas de lui appartenir, quand son sommet éprouve un déplacement infiniment petit sur la directrice (art. 452). Nous pouvons donc différentier l'équation {■?? en y considérant a;, j et s comme constantes. Nous obtenons ainsi l'équation

(i - m-r)(/. + [mrz- x) + (/3 -y)'~ = o,

qui devient, lorsqu'on v introduit la valeur de ^ déduite de l'équation (i),

(3) [b- — à- -+- a-rn-i-)a^ — b-ya — a-{mi-z — x)^ — o('),

(' ) Nous avons employé le Calcul différentiel, parce qu'il conduit directement à l'équation (3) du plan

CHAPITHE III. — SURFACES u'ÉGALE l'IiNTE. III

556. Pour avoir l'équation de la surface, il faudrait éliminer a el /5 entre les équations(i), (2) et (3) ; mais, si nous cherchons seulement son intersection avec un plan donné, nous pourrons commencer par introduire les relations qui sont établies par l'équation de ce plan entre les variables x, y et s.

Les plans

doivent couper la développable suivant des lignes faciles à déterminer, car pour chacun d'eux les équations (2) et (3) perdent un de leurs ternies, et la seconde peut être réduite au premier degré par la suppression d'un facteur commun.

557. En faisantj nul dans les équations (2) et (3) pour chercher l'intersection de la surface avec le premier des plans (4), on obtient

( 5 ) ( I — m'- i- ) a'- + p- 4- 2 [mi- z — x)o(. + x'- — i- s'- = o,

(6) [h- — a- -+- a-nri^) a — a^ [mi- z — a;) = o,

et l'élimination de [j et de a entre (i), (5) et (6) donne

( 7 ) ( ^' + «' fn' *' )x- — 1 a'- mi- xz + (a- — b") r z- 4- b" ( è" — a^ -h a- m- i' j = o.

La symétrie de la ligure montre que les génératrices se rencontrent deux à deux dans le plan vertical AB [Jig- 273). La conique (7), trace de la surface sur ce plan, est donc une ligne double : nous l'appellerons A".

La développable étant circonscrite à deux courbes du second ordre A et A" a deux autres directrices planes et de cet ordre; et comme les premières, représentées par les équations (1) et (7), sont concentriques, l'une des deux autres A'" a le même centre qu'elles, et la dernière A' se trouve à l'infini (art. 508). Nous pourrions nous servir des théories du Chapitre II pour déterminer la directrice A", mais il est plus simple de continuer à traiter la question directement.

558. Pour obtenir l'intersection de la surface par le second des deux plans (4), nous portons dans les équations (2) et (3) la valeur de z déduite de l'équation de ce plan ; il vient

(i — m- 1-](/.- + h- — iliy -, -a;- -|- y- = o,

[b- — a- H- à'Tri' r)^j — b-y = o.

L'élimination de a et de /3 entre ces deux équations et l'équation (i) donne

a'm-i- b' — u'-ha'ni^i'

des deux génératrices qui passent au point considéré (C, C) {Jig. 273); mais on peut l'établir sans son secours, en exprimanl anaiytiquement les constructions de la figuri^.

La section de la surface par le second des deux plans (/|) est donc une courbe du deuxième ordre, concentrique avec la directrice d, comme nous avons reconnu que cela devait être. Appelant a" eti" les longueurs des demi-axes de sa projection horizontale, et m'" la tangente de l'angle de son plan avec l'horizon, nous avons, d'après la seconde des équations (4) et l'équation (8),

fo) m"= — -1 a'"- = a- m"- i- , h'"' = b'- — a- -\- a-m-r.

Si l'on résout ces équations par rapport à m, a et b, on trouvera les mêmes expressions, avec permutation des lettres qui représentent les constantes des deux coniques; il y a donc réciprocité entre elles, et par suite celle que nous venons de déterminer. A", est une liane double comme A.

On déduit des équations (9)

Les coniques projections horizontales des directrices A et A'" ont donc les mêmes foyers. Il est d'ailleurs facile de voir, à l'aide de l'équation (7), que ces points sont les extrémités du segment de la droite AB {Jig. 273) qui forme la projection horizontale de A"; d'où il suit que ce sont les foyers de ce segment considéré comme une ellipse aplatie.

5o9. Nous pouvons maintenant faire les tracés nécessaires à la détermination des lignes doubles et à la représentation générale de la surface.

Les données sont l'ellipse directrice (AB, A'B'j que nous appelons A (/ig. 274 et 275), et l'angle de la développable avec l'horizon. De chacun des points A' et B' nous menons deux droites faisant cet angle avec la ligne de terre XY : ces lignes sont évidemment des génératrices, et la diagonale C'O'D' du parallélogramme A'C'B'D' qu'elles forment est la trace verticale du plan de la directrice A". Les points C et D' sont des sommets de cette courbe, et leurs projections horizontales C et D des sommets de sa projection. Comme d'ailleurs la ligne A" a, sur le plan horizontal, les mêmes foyers F et F, que l'ellipse AB, elle se trouve complètement déterminée et facile à tracer : c'est une hyperbole, parce que les sommets C etD sont en dedans des foyers; nous aurions une ellipse s'ils étaient au delà, et enfin, si les points C et D se confondaient avec F et F,, la développable se composerait de deux cônes ayant leurs sommets l'un en C et l'autre en D'.

Les directrices A et A'" étant de genres différents, A" est nécessairement une ellipse (art. 508).

Il est inutile de dire que les foyers auraient pu se trouver sur l'axe Oy.

560. La droite PQ est l'intersection des plans des directrices A et A'"; par conséquent, si des points P et Q nous menons des tangentes à l'hyperbole, ces droites

chapitul: III. — SURFACES d'égale pente. ii3

seront des génératrices de la surface, et leurs points de contact I, I,, / et i, seront des sommets (art. 458). Nous pouvons obtenir leur position en employant la construction ordinaire des tangentes à l'hyperbole par un point extérieur. De Q et de F comme centres, avec des rayons égaux à OB et à CD, nous décrivons des arcs de cercle qui se coupent en /et en /, ; les droites F/ et F/, passent respectivement par i et il, et leurs segments il et /,/, sont égaux à «F, et i,¥, (').

Les points M et N, où une même génératrice rencontre l'ellipse et l'Iiyperbole, sont tels, que les tangentes correspondantes se rencontrent en un point de l'axe PQ [art. 455). On a par suite entre leurs ordonnées fi et y la relation (-)

Ir h""

Le rapport de /3 à j est donc constant, et par suite les ordonnées des points M et N sont entre elles comme les ordonnées des points connus Q et i. En conséquence, après avoir pris sur l'ellipse des points de division arbitraires, mais symétriquement placés par rapport aux axes, on peut obtenir par une construction de lignes proportionnelles les ordonnées des points de l'hyperbole qui leur correspondent, ce qui suffit pour les déterminer sur cette courbe que nous supposons tracée avec soin. On relève ensuite les points de l'ellipse sur A'B', ceux de l'hyperbole sur CD', et l'on trace les deux projections de toutes les génératrices considérées. Nous les avons arrêtées aux courbes A cl A".

Conformément à une observation que nous avons présentée à l'article 554, les deux génératrices qui se rencontrent en un point quelconque de l'une des directrices font des angles égaux avec la tangente de cette ligne dans l'espace et en projection horizontale.

Deux génératrices, issues des points M et R symétriquement placés par rapport à AB, se rencontrent dans le plan vertical dont celte ligne est la trace; mais leur croisement ne peut pas se dessiner sur la projection verticale, parce qu'elles y sont représentées par une même droite. Pour construire la directrice A" qui est une ellipse, il faut relever sur le plan vertical les points de rencontre des projections horizontales des génératrices avec la droite AB.

561. Les verticales ge et g, e, relevées des foyers F et F, louchent l'ellipse A" (art. 558). Les côtés du parallélogramme A'C'B'D' sont des génératrices situées dans le plan de celle directrice; elles lui sont donc tangentes (art. 457), et leurs points de contact sont des sommets de la surface.

On sait que, dans un pentagone circonscrit à une conique, deux diagonales qui ne

(') On peut aussi remarquer que la perpendiculaire à AB menée par le point C renconire l'arc F/,1', au point i où passe la droite y/,.

(') Celte formule peut être déduite immédiateiiionl de lu seconde équation de l'article KiS; elle est identique avec celle que nous ajons obtenue à l'article 61('.