Deux triangles ABC, A'B'C, sont semblables

i" Lorsqu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun ; 2** Lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés p rop o rt io nnels;

3° Lorsqu'ils ont les côtés proportionnels, i" Supposons qu'on a\i{Jig. i53)

Prenons sur le côté AB homologue de A'B' une longueur AD égale à A' B', et menons DE parallèle à BC. Le triangle ADE

Fig. i53.

est semblable à ABC (108), et il suffit de démontrer l'égalité des triangles ADE, A'B'C

Or, les angles A et A' sont égaux par hypothèse; l'angle ADE est correspondant de l'angle ABC, qui, par hypothèse, est égal à B'; enfin, le côté AD est égal à A'B' par construction. Donc

l36 GÉOMÉTRIE PLANE.

les deux triangles ADE, A'B'C, sont égaux, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux. 2° Supposons qu'on ait

prenons sur le côté AB homologue de A'B' une longueur AI) égale à A'B', et menons DE parallèle à BG. Le triangle ADE est semblable au triangle ABC ( 198), et il suffit de démontrer l'égalité des triangles ADE, A'B'C.

Or, la similitude des triangles ABC, ADE, donne la proportion