POLE ET POLAIRE DANS LE CERCLE

THÉORÈME

340. Si, par un point 0 pris dans le plan d'un cercle C, on mène une sécante quelconque OFE, et qu'on détermine le conjugué harmonique I du point Opar rapporta EF, le lieu géométrique du point I, lorsque la sécante tourne autour du point 0, est une ligne droite perpendiculaire au diamètre AB qui passe par le point 0 {/ig. 216 et 217).

Fig. 217.

En effet, soit H le conjugué harmonique de 0 par rapport à AB; si l'on joignait EA et EB, le faisceau (EA, EH, EB, EO) serait harmonique et, comme EA et EB sont rectangulaires, EB serait la bissectrice de l'angle ÏIEF (339). Mais dès lors les arcs BF et BF' étant égaux, la droite 110 est la bissectrice de l'angle FHF', et, par suite, la perpendiculaire HZ est bissectrice de l'angle supplémentaire FHL. Or, dans tout triangle HEF, la base EF est divisée harmoniquement par les bissectrices HZ et HO de l'angle au sommet et de son supplément. Donc, le point I est situé sur la perpendiculaire HZ au diamètre AB.

341. On dit que le point 0 est le pôle de la droite HZ, et que la droite HZ est \a polaire du point 0 par rapport au cercle C. Le diamètre AB qui passe par le pôle étant divisé harmoniquement par

R. et DE C. — Tr. de Géom. ( P« Partie). i^>

ie pôle 0 et le la relation

GÉOMÉTRIE PLANF.

H de la polaire, on a (332) en grandeur et en signe CH.CO = RS

dans laquelle R désigne le rayon du cercle C. Donc le rayon du cercle est moyen proportionnel entre les distances du centre au pôle et à la polaire.

De celte relation, ou bien de ce qui a été dit au n° 333 sur les positions relatives des deux points qui divisent harmoniquement un segment donné, résultent les propriétés suivantes :

1° Le pôle et la polaire sont situés d'un même côté du centre C; la polaire est extérieure au cercle si le pôle est intérieur; elle coupe le cercle si le pôle est extérieur. Dans ce dernier cas, la polaire coïncide avec la corde de contact MN des tangentes issues du pôle 0 ( fig. 216) ; car, lorsque E et F se confondent en M, le point I, qui est toujours con)pris entre eux, vient aussi en M, de sorte que ce point de contact appartient au lieu des points I, c'est-à-dire à la polaire du point 0.

2** La polaire du centre est à V infini, et la polaire d'un point qui s'est éloigné indéfiniment dans une direction donnée est le diamètre perpendiculaire à cette direction. — Inversement, le pôle d'une droite située à l'infini est au centre, et le pôle d'un diamètre est à l'infini sur la perpendiculaire à ce diamètre.

3° La polaire d'un point du cercle est la tangente en ce point; et, inversement, le pôle d'une tangente est son point de contact.

342. Les polaires de tous les points d'une droite passent par le pôle de cette droite; et, inversement, les pôles de toutes lesdroites qui passent pai un point sont situés sur la polaire de ce point [fig. 218).

En effet, soient XY une droite quelconque, I son pôle par rapport au cercle C, et 0 l'un quelconque de ses points. Si Ton abaisse du point I ly