MÉTHODE DE TRANSFORMATION PAR PAYONS VECTEURS RÉCIPROQUES

396. La figure inverse d'une figure donnée prend aussi le nom de transformée par rayons vecteurs réciproques. Ce mode de transformation est un des moyens d'investigation les plus puissants dans l'état actuel de la Géométrie. En construisant la figure inverse de celle qui répond à un théorème connu, on obtient des propositions nouvelles qui sont plus ou moins intéressantes, suivant le choix que l'on a fait de l'origine, et la nature de la figure primitive.

Voici quelques exemples :

1° Dans tout triangle rectiligne, la somme des angles est égale à deux angles droits. En formant la figure inverse (388), on obtient un triangle, formé par trois arcs de cercle qui se coupent tous à l'origine; et, comme la transformation n'altère pas les angles, on a ce théorème : La somme des angles d'un triangle curviligne, dont les côtés sont des arcs de cercle qui se croisent en un même point, est égale à deux angles droits. On aurait un théorème analogue en transformant la proposition relative à la somme des angles d'un polygone.

a°. Il est évident que si, dans un angle fixe, on inscrit deux cercles tangents entre eux, le lieu de leur point de contact est la bissectrice de l'angle. Donc, en formant la figure inverse, si, dans l'espace compris entre deux cercles qui se coupent, on inscrit deux circonférences tangentes entre elles, le lieu de leur point de contact est une autre circonférence.

397. Au lieu de chercher des propositions nouvelles en partant d'un théorème dont la démonstration est connue, comme nous l'avons fait dans les deux exemples précédents, on peut avoir à démontrer directement un théorème énoncé. On construit alors la figure inverse de celle qui répond au théorème proposé, en choisissant l'origine de façon que la nouvelle figure soit plus simple que la première, et que la propriété correspondante soit, sinon intuitive, au moins plus facile à prouver.

C'est ainsi que tout théorème ou tout problème sur un faisceau de cercles peut 6tre ramené au cas beaucoup plus simple où le faisceau est composé soit do droites, soit de cercles concentriques (392). Par