LIVRE IV

LES AIRES

§ I. — Mesure des aires des polygones.

373. Chercher rexpression de l'aire d'un trapèze, en le considérant comme la différence des deux triangles obtenus en prolongeant jusqu'à leur point de rencontre ses deux côtés non parallèles.

374. Étant données les bases et la hauteur d'un trapèze, calculer les aires des deux triangles dont il est la différence.

375. L'aire d'un trapèze est égale au produit d'un de ses côtés non parallèles par la perpendiculaire abaissée du milieu de l'autre côté sur le premier.

376. Par un point pris sur la bissectrice d'un angle, mener une droite telle, que la partie interceptée par les côlés de l'angle soit minimum ou qu'il en soit de même de l'aire du trianale déterminé.

377. Dans un angle donné, mener une droite minimum qui intercepte un triangle dont l'aire soit équivalente à un carré donné.

378. Si, dans un triangle rectangle, l'un des angles aigus est égal à ^

d'angle droit, l'aire du triangle équilatéral construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des triangles équilatéraux respectivement construits sur les côtés.

379. On donne un triangle ABC ; aux points B et C, et d'un même côté de BG, on mène à cette droite des perpendiculaires BD et CE qu'on prend égales à deux fois la hauteur du triangle ABC. Les points F et G étant les milieux des côtés AB et AC, démontrer que le triangle ABC est équivalent à la somme ou à la différence des triangles BDF, CEG, suivant que ses angles en B et en C sont ou non tous les deux aigus.

380. Les deux triangles opposés, qu'on forme enjoignant un point quelconque pris dans l'intérieur d'un parallélogramme à ses quatre sommetS; équivalent ensemble à la moitié du parallélogramme.

381. On donne un rectangle ABCD; on prend un point quelconque E sur BG, un point quelconque F sur CD. Démontrer que le rectangle ABCD équivaut au double du triangle AEF, augmenté du rectangle ayant pour dimensions les segments BE et DF.

382. Tout rectangle est moitié du rectangle qui a pour dimensions les diagonales des carrés construits sur ses côtés adjacents.

383. Si, par le milieu E de la diagonale BD d'un quadrilatère ABCD, on mène la parallèle FEG à la seconde diagonale AG, démontrer que la droite AG divise le quadrilatère en deux parties équivalentes.

384. ABCD étant un rectangle, on inscrit dans le triangle ABC un cercle qui touche AB en E et BG en F; on mène ensuite EH parallèle à AD et

. FK parallèle à CD. Démontrer que le rectangle KH est la moitié du rectangle ABCD.

385. Dans un quadrilatère, les perpendiculaires abaissées sur une diagonale des sommets opposés sont égales : on demande de le diviser en quatre triangles équivalents par des droites menées d'un point intérieur aux quatre sommets.

386. Si, des sommets d'un triangle jusqu'aux côtés opposés ou à leurs prolongements, on mène trois droites égales à une longueur donnée et si, d'un point intérieur, des parallèles sont menées à ces droites jusqu'aux mêmes côtés, la somme de ces parallèles est égale à la longueur donnée.

387. Si les diagonales d'un quadrilatère inscrit se coupent à angle droit, la somme des produits des côtés opposés représente une aire double de celle du quadrilatère donné.

388. P étant un point quelconque pris dans le plan d'un parallélogramme ABCD, démontrer que le triangle PBD est équivalent à la somme des triangles PAB, PBG.

389. ABCD étant un quadrilatère inscrit, démontrer par les propriétés

des aires la relation connue

AC ^ BA.AD-i-BC.CD BD~ AB.BG-hAD.DC*

390. D'un point 0 pris dans l'intérieur d'un triangle ABC, on mène jusqu'aux côtés BG, AG, AB, les droites Oa, 0^, Oc; puis, par les sommets A, B, G, jusqu'aux mêmes côtés, les parallèles A«', Bb\ Ce', aux premières droites; démontrer la relation

Oa^ Ob Oc__

a^/'^bT/'^c?"'*

/jjo ' GÉOMÉTRIE PLANE.

391. Démontrer par les propriétés des aires que, si l'on mène la parallèle cb à la base BG d'un triangle ABC, les droites Bè, Ce, se croisent sur la médiane qui correspond au sommet A.

392. Si l'on inscrit un cercle dans un triangle rectangle, ce triangle es' équivalent au rectangle qui a pour dimensions les segments déterminée sur l'hypoténuse par le point de contact du cercle inscrit.

393. Démontrer que l'aire d'un triangle en fonction de ses médianes a P, 7, est exprimée par la formule

394. La droite qui contient les trois projections d'un point A d'une circonférence 0 sur les côtés d'un triangle équilatéral inscrit passe par le milieu du rayon OA.

395. Dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, la droite qui joint les milieux des diagonales passe par le centre du cercle.

396. Étant données les trois hauteurs A, h', h", d'un triangle, trouver ses trois côtés et sa surface.

397. L'aire d'un triangle est égale au rayon du cercle circonscrit, multiplié par le demi-périmètre du triangle formé en joignant les pieds des hauteurs.

398. Deux triangles ont un sommet commun : quel est le lieu décrit par ce sommet lorsque, les deux bases restant fixes, la somme ou la différence des aires des deux triangles demeure constante? — Discussion. — Déduire du résultat obtenu que les milieux des trois diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite.

399. Les côtés consécutifs d'un quadrilatère quelconque étant représentés par fl, by c, cl, et ses diagonales par m et /z, l'aire de ce quadrilatère est exprimée par la formule

S = - ^{Q.mn H- a' — b' -h c' — cP) [•imn — a' -{- b' — c' -^ ci') .

Si le quadrilatère est inscriptible et si p désigne son demi-périmètre cette formule devient

S = \/[p-a){p-b){p-c){p-ci).

Si le quadrilatère est un trapèze ayant « et c pour bases, on a

rt-hC

S = - \/[b-hd-i-a — c){b-i-ci-\-c—a){a — c-i-b—(i){a — c-hd—b).

QUESTIONS PROPOSÉES. 4ll

iOO. Trouver l'aire d'un quadrilatère quelconque en fonction des deux diagonales et des deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

401. Démontrer que l'aire d'un quadrilatère, à la fois inscriptible et circonscriptible, est égale à la racine carrée du produit de ses quatre côtés.

K § n. — Comparaison des aires.

402. On donne un triangle rectangle sur les côtés duquel on construit trois carrés; on joint les sommets consécutifs de ces carrés, et l'on demande l'expression de l'aire de la figure totale ainsi formée.

403. Un triangle étant donné, partager sa surface en moyenne et extrême raison par une parallèle à sa base.

404. Sur les côtés AB, AC, d'un triangle ABC, on construit des parallélogrammes quelconques ABDE, ACFG, dont on prolonge les côtés DE et FG jusqu'à leur rencontre au point H; démontrer que la somme des aires de ces deux parallélogrammes équivaut à l'aire du parallélogramme qui a pour côtés adjacents BG et une droite égale et parallèle à AH. — Déduire de ce théorème celui du carré de l'hypoténuse.

405. On donne un quadrant AOB et un point P quelconque sur l'arc AB; par ce point P, on mène à cet arc la tangente STP : S est son point d'intersection avec le rayon OA, T avec le rayon OB. On mène PM perpendiculaire sur OA, et l'on demande de prouver que le triangle AOB est la moyenne proportionnelle des triangles SOT et OMP.

406. Sur les côtés AB, AC, d'un triangle ABC, on marque deux points M et N, et sur la droite MN un point P, tels qu'on ait

BM ANPM. AM "~ CN ~ PN '

iémontrer que le triangle BPC équivaut au double du triangle AMN.

407. Soit un triangle quelconque ABC; on mène BD perpendiculaire et égale à AB, CE perpendiculaire et égale à AC, et l'on tire DE. Démontrer que la somme des carrés construits sur BC et sur DE équivaut à deux fois la somme des carrés construits sur les côtés AB et AC.

408. Par le milieu de chacune des deux diagonales d'un quadrilatère, on mène une parallèle à l'autre, et l'on joint le point d'intersection de ces deux parallèles aux milieux des quatre côtés; démontrer que le quadrilatère est ainsi partagé en quatre parties équivalentes.

409. Deux polygones d'uii nombre pair de côtés sont équivalents, lorsque leurs côtrs ont les mômes points milieux

4l2 GÉOMÉTRIE PLANE.

410. L'aire d'un polygone d'un nombre pair de côtés ne varie pas, lorsque tous les sommets de rangs pairs ou tous les sommets de rangs impairs décrivent des droites égales, parallèles et de même sens.

4H. Si deux polygones semblables et intérieurs l'un à l'autre ont leurs côtés homologues parallèles, tout polygone à la fois inscrit dans l'un et circonscrit à l'autre a une aire moyenne proportionnelle entre les aires de ces deux polygones.

412. Démontrer que la surface du triangle formé avec les médianes d'un triangle donné est les trois quarts de la surface de ce triangle. — En déduire : i" qu'entre tous les triangles qui ont la somme de leurs médianes constante, le triangle équilatéral est maximum; 2" que de tous les triangles équivalents, le triangle équilatéral est celui dans lequel la somme des médianes est minimum.

§ III. — Aires du polygone régulier et du cercle.

413. Trouver en fonction du rayon du cercle circonscrit Taire du dodécagone régulier.

414. L'aire de l'octogone régulier inscrit dans un cercle équivaut à celle du rectangle qui a pour côtés adjacents les côtés des carrés inscrit et circonscrit.

41 S. L'aire de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est les trois quarts de celle de l'hexagone régulier circonscrit.

416. L'aire de l'hexagone régulier inscrit est la moyenne proportionnelle de celles des triangles équilatéraux inscrit et circonscrit.

417. Étant donné un polygone régulier, on mène les diagonales qui sous-tendent successivement deux côtés; ces diagonales déterminent par leurs intersections un autre polygone dont on demande la nature, et l'aire en fonction de celle du premier polygone.

418. On prend les points B et D à égale distance des extrémités de l'arc d'un quadrant AOG, et l'on mène sur OC les perpendiculaires BG et DH; démontrer que la figure mixtiligne BGHD est équivalente au secteur OBD.

419. Si l'on prend un point G sur le diamètre AB d'un cercle, l'aire comprise entre ce cercle et les cercles décrits sur les segments AC et GB comme diamètres équivaut au cercle qui a pour diamètre la moyenne proportionnelle des segments AC et CB.

420. Dans des cercles différents, les secteurs dont les angles sont en raison inverse des carrés des rayons sont équivalents.

QUESTIONS PROPOSÉES. 4l3

421. La diiïérence de deux secteurs semblables a pour mesure de son aire le produit de la différence des rayons par l'arc concentrique mené à égale distance des arcs considérés,

422. Si des demi-cercles sont décrits sur les trois côtés d'un triangle rectangle comme diamètres, et si l'on tourne vers l'intérieur du triangle ceux décrits sur les côtés de l'angle droit, la somme des segments extérieurs correspondant aux côtés de l'angle droit, moins la somme des segments déterminés par l'hypoténuse, équivaut à l'aire commune aux demi-cercles décrits sur les côtés.

423. Des demi-cercles OEDA, OFDB, étant décrits sur les rayons OA, OB, d'un quadrant OACB, démontrer : i** que les trois points A, B, D, sont en ligne droite; i"" que les aires ACBD, OEDF, sont équivalentes; 3° que les aires OFDA, OEDB, équivalent chacune au quart du carré construit sur le rayon OA.

424. Si AB et CD sont deux diamètres perpendiculaires d'un cercle 0, et si, du point D comme centre avec DA pour rayon, on décrit un arc de cercle AEB, démontrer que l'aire de la lune AEB équivaut à celle du triangle DAB.

425. Dans un triangle rectangle ABC, AD étant la perpendiculaire abaissée du sommet sur l'hypoténuse, démontrer que les cercles inscrits dans les triangles ABD, ACD, sont proportionnels à ces triangles.

426. On donne deux droites qui se coupent en A, et l'on décrit une série de cercles tous tangents à ces deux droites et successivement tangents entre eux ; OA étant la dislance du centre du cercle le plus éloigné au point A, et OB son rayon, la somme des aires de tous les cercles esta

(OA-i-OB)'

l'aire du plus éloigné dans un rapport exprimé par

427. Si le diamètre d'un cercle est divisé en n parties égales aux points P,, Pj,. . . , et si l'on décrit des demi-cercles au-dessus de AB sur les diamètres AP,, AP^,. . ., et au-dessous de AB sur les diamètres BP,, BPj,. . ., le contour de chaque figure telle que AP^, BP^ est égal à la circonférence du cercle donné, et l'aire de la même figure à la n^'""'* partie de celle du cercle donné.

428. A étant l'aire d'un polygone régulier inscrit et B l'aire du polygone circonscrit semblable, démontrer que la différence B — A équivaut à l'aire du polygone régulier semblable inscrit dans la circonférence qui a pour diamètre le côté du polygone B, ou encore à l'aire du polygone régulier semblable circonscrit à la circonférence qui a pour diamètre le côté du polygone A.

/|l^ GEOMEriUB PLANE.

429. CBD étant un triangle rectangle en B dans lequel BD est le double de BC, on prolonge BD d'une longueur P/7 = —-j puis encore d'une longueur ab = — r-; on mène les droites C^, Ce, et l'on prolonge BG de telle

sorte que BA = C«; enfin, par A, on mène à la droite C^ une parallèle qui coupe en E le prolongement de BD. Démontrer que la longueur BE diffère très-peu de la demi-circonférence dont BC est le rayon, et que le triangle BCE diffère très-peu du cercle correspondant; évaluer les deux différences.

430. A et B désignant les surfaces de deux polygones réguliers semblables inscrit et circonscrit à un cercle, et A' et B' celles des deux polygones réguliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés double, démontrer les formules

r^^VÂ'B ®* b'^'^Vb'^aV'

prouver en outre que B'— A' est < — - — • — Déduire des formules obtenues une nouvelle démonstration du théorème de Schwab (300).

431. r et fl désignant le rayon et l'apothème d'un polygone régulier, r^ et a! le rayon et l'apothème du polygone régulier de même aire et d'un nombre de côtés double, démontrer les formules

r* = sjr.a^ a' ~ i /<5f<

— Déduire do ces formules, en partant du carré dont l'aire est égale à 2, un théorème analogue à celui de Schwab, c'est-à-dire le moyen d'obtenir

une série de nombres tendant vers

§ IV. — Problèmes sur les aires.

432. Partager un triangle en parties proporiionneUes à des droites données par des parallèles à sa base.

433 Partager un trapèze en parties proportionnelles à des droites données par des parallèles aux bases.

434. Partager un polygone en parties proportionnelles à des nombres donnés par une série de droites parallèles à une droite donnée.

QUESTIONS PROPOSÉES. 4l5

435. Partager un triangle en trois triangles équivalents par trois droites nenées d'un même point intérieur à ses trois sommets.

436. Par un point pris dans le plan d'un angle donné, mener une droite telle, que le triangle qu'elle détermine par sa rencontre avec les côtés de l'angle soit équivalent à un carré donné.

437. Partager un quadrilatère quelconque en deux parties qui soient dans le rapport de deux droites données, par une parallèle ou une perpendiculaire à l'un de ses côtés.

438. Étant donnés trois points A, B, C, en trouver un quatrième 0 tel, que les surfaces AOC, AOB, BOC, présentent des rapports donnés.

439. Par un point pris sur l'un des côtés d'un polygone, mener une série de droites qui partagent sa surface en un nombre donné de parties équivalentes.

440. Inscrire dans un triangle donné un parallélogramme ayant une aire donnée. — Discussion.

441 . Partager un polygone en n parties équivalentes par une série de droites issues d'un point intérieur.

442. Inscrire dans un cercle donné un trapèze, connaissant son aire et la longueur commune des deux côtés non parallèles.

443. Inscrire dans un cercle donné un rectangle de surface donnée.

444. Construire un triangle, connaissant ses angles et sa surface.

44d. Après avoir inscrit un carré dans un carré donné, on en inscrit un troisième dans le second obtenu, et ainsi de suite indéfiniment, en adoptant toujours la même loi d'inscription.

On demande : i° la limite vers laquelle tend la somme des carrés inscrits; 2° combien il faut construire de carrés inscrits pour que leur somme soit équivalente à une surface donnée.

446. Étant donné un triangle, on en forme un second en joignant les milieux de ses trois côtés, un troisième en joignant les milieux des trois côtés du second, et ainsi de suite indéfiniment. On demande la limite de la somme de tous les triangles inscrits de cette manière.

447. Construire un triangle équivalent à un triangle donné et tel, que ses sommets soient respectivement situés sur trois droites données.

448. Partager un trapèze en parties proportionnelles à des droites données, par des sécantes coupant les deux bases.

449. Partager un cercle en parties proportionnelles à des nombres donnés, par des rayons.

/jg GÉOMÉTRIE PLANE.

450. Partager un corcle en parties proportionnelles à des nombres donnés, par des circonférences concenlTÎques.

451. Partager un triangle en deux parties proportionnelles à des droites données, par une perpendiculaire à l'un des côtés.

452. Partager un triangle en deux parties proportionnelles à des droites données, par une sécante minimum.

453. Partager un triangle quelconque en quatre parties équivalentes, par deux droites perpendiculaires entre elles.

454. Étant donné un cercle, trouver quatre autres cercles dont les rayons soient pro:;ortionnels à des droites données et dont la somme des aires soit équivalente au cercle donné.

455. On donne trois droites en grandeur et en position; trouver un point tel, qu'en le prenant pour sommet commun de trois triangles ayant ces droites pour bases respectives, ces trois triangles soient équivalents.