C.0D-+-AC.BD::-0K.0I

516. ABCD étant un quadrilatère quelconque etT le point de concours des perpendiculaires menées par les extrémités du côté AB aux côtés adjacents AD et BC, démontrer que la perpendiculiiire menée par le point T sur la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère, divise le côté AB en deux segments proportionnels aux projections des côlésBC el AD sur AB.

517. La somme algébrique des perpendiculaires abaissées des sommets d'un polygone régulier sur une droite menée par son centre, est nulle quelle que soit la direction de cette droite.

QUESTIONS PROPOSi^.ES. 4^3

518. Étant donnés un triangle ABC et des droites A«, B^, Ce, qui allant des sommets aux côtés opposés se rencontrent en un même point, on fait passer un cercle par les trois points «, b^ c, lequel coupe les mômes côtés du triangle en trois autres points a\ b\ c'; démontrer que les droites ka\ B^', Ce', se rencontrent aussi en un même point.

519. D'un point pris dans l'intérieur d'un triangle ABC, on mène des sommets aux côtés opposés les droites AH, BE, CF, puis on joint deux à deux les points H, E, F; démontrer que les droites AH, BE, CF, sont alors divisées harmoniquement. — Inversement, si une droite AH est divisée harmoniquement en G et D, et si F est un point d'une autre droite AB, les intersections E et C des droites FG et BD, FD et BH, sont en ligne droite avec le point A.

I^H, 520. Par le sommet A d'un triangle ABC, mener une droite telle, que f^^les perpendiculaires BB', CC, abaissées sur elle des extrémités delà base, forment des triangles rectangles ABB', ACC, équivalents.

521. L'aire d'un quadrilatère quelconque ABCD est égale à l'aire du triangle ayant pour base l'un des côtés AB et pour sommet le point de concours des deux diagonales, plus trois fois le triangle ayant pour base le côté CD et pour sommet le point de concours des deux droites qui joignent les centres de gravité des triangles ABC et CDA et des triangles BCD et DAB.

522. Inscrire un carré dans un parallélogramme. — Discussion.

523. Étant donné un quadrilatère ABCD, si Ton prend à volonté un point M sur AB et un point N sur CD, et que l'on mène les droites AN et DM qui se coupent en P, puis les droites CM et BN qui se coupent en Q, la droite PQ passe par un point u.^e.

524. Décrire un cercle tangent à deux cercles donnés et qui passe par un point donné de leur axe radical.

525. Étant donnés deux points A et B et deux circonférences passant, l'une par A, l'autre par B, trouver sur l'axe radical de ces circonférences un point C tel, que la droite qui unit les secondes extrémités des cordes déterminées par les sécantes CA et CB soit perpendiculaire à cet axe radical.

526. Un triangle PQR étant circonscrit à un cercle 0, on forme un second triangle ABC ayant pour sommets les milieux des côtés du premier ; des points A, B, C, on mène au cercle 0 des tangentes qui rencontrent en <7, è, c, les côtés opposés du triangle ABC; démontrer que les points a. 0, r, sont en ligne droite.