LIVRE III

CD étant le diamètre perpendiculaire à AB, AC sera le côté cherché, que nous désignerons par a La corde AC est moyenne proportionnelle entre le dia* mètre CD et sa projection CE — OC — OE sur ce diamètre; en a donc

a ■■ = üR(K - OE) = R(aR — aOE).

Mais le triangle rectangle AEO donne

OE = v/a6J — ÂEJ ou OE— y/ R — J — )-V4h2- On a donc finalement

En particulier, lorsqu’on prend le rayon pour unité, on a

( 2 ) ci V2 — y/4 — a1’

On peut donner à cette relation une autre forme plus cornmode pour le calcul numérique. Le produit de la somme

2 -i- y/4 — ci2, par la différence 2 — y/4 — «2, est égal à la différence des carrés de 2 et de y/4 — ci2, c’est-à-dire à

Par suite, on a

et enfin

ScOUE.

283. En partant d’un polygone dont on connaît le côté, on pourra, par l’application répétée de la formule (3), calculer successivement les côtés, et par suite les périmètres des polygones réguliers inscrits de 2 n, 4 n, 8 n, 1 6n,. . . côtés, n étant le nombre des côtés du premier polygone. Voici les résultats

que l’on obtient en partant, soit du carré dont le côté est y /1

1 84 GÉOMÉTRIE PLANE

dans le cercle de rayon i, soit de l’hexagone dont le côté est i :

Nombre des côtés.

iG .

Demi-périmètres.

! Nombre des côtés.

Demi-périmètres.

Ces valeurs sont obtenues par défaut à moins d’une unité du cinquième ordre décimal.

284. Connaissant le côté d’an polygone régulier inscrit , calculer le côté du polygone régulier circonscrit semblable (fîg. 196).

Fig. 19C.

Soient AB = a le côté donné et R le rayon du cercle; menons la tangente CD au milieu F de l’arc AB et prolongeons-la jusqu’aux points C et D, où elle rencontre les rayons OA et OB prolongés. CD sera le côté cherché (265); désignons-le par a. Les triangles semblables AOE, COF, donnent

CF GF a R