B7DA) = (B'7D'A

Or, ces deux figures rectilignes ont un point homologue commun 7; donc les droites BB', DD', AA', qui joignent les autres points homologues deux à deux, concourent (324) en un même point O.

Ces deux théorèmes, attribués à Desargues, géomètre du xvir siècle, ont été repris par Poncelet ( Traité des Propriétés projectives ), qui en a fait la base de sa Théorie des figures homologiques . Les deux triangles ABC, A'B'C', qui &tisfont aux conditions précédentes, sont dits homologirjues ; le point O et la droite a(37 sont appelés \ecentrc et V axe d' homologie.

328 . Dans tout hexagone ABCDEF inscrit à une circonférence , les points de concours L, M, N, des trois couples de cotés opposés AB et DE,

BC et EF, CD et AF, sont en ligne droite ( fig . 212).

Fig. 212.

329 . Dans tout hexagone ABCDEF circonscrit à un cercle, les trois diagonales AD, BE, CF, qui unissent les sommets opposés, se coupent en un même point O [fig. 2i3).

Fig. 21 3.

En effet, on a (321, i°)

( A.BFED) =(C.BFED).

En effet, soient I et M les points où le côté AB rencontre FE et DE, et L et N les points où CD rencontre AF et

GÊ031ÉT III E TLAISi:. .

Par suite (320), en coupant le premier faisceau par la droite DE, le second par la droite FE, et nommant G l’intersection de AF et, de DE, I l’intersection de EF et de CD, on aura

(LGED) = (MFEI).

Or, ces deux figures rectilignes ont un point homologue commun E ; donc (32 1) les droites LM, GF, DI, qui joignent les autres points homologues deux à deux , se coupent en un même point N. Les trois points L, M, N, sont donc en ligne droite.

Ce théorème, dû à Pascal, et la démonstration si simple que nous venons d’exposer, subsistent quand même l’hexagone cesse d’être convexe.

FE; on aura (321 , 20), en considé- ! rant les deux côtés non contigus ÀB et CD coupés par les quatre autres, ( B A IM ) = (CLND).

Par suite,

(E.BAIM) = (F. CLND).

Or, ces deux faisceaux ont un rayon homologue commun IN ; donc (322 ) les points de concours O, A, D, des trois autres couples EB et FC, EA et FL, EM et FD, de rayons homologues, sont en ligne droite. Les trois droites AD, BE, CF, passent donc par un même point O.

Ce théorème est dû à Brianchon (. Journ.de l'Ecole Polj t.,i 3ecahier) , qui l’a déduit du théorème de Pascal par la considération des polaires, comme nous le verrons bientôt.

330. Si l’on considère les théorèmes des n°* 322, 326, 328 d’une part, et les théorèmes des nos 324, 327, 329 de l’autre, on voit que, dans les premiers, il s’agit de points en ligne droite , et dans les seconds de droites qui concourent en un meme point. On distingue en effet, dans la science de l’étendue, deux genres de propositions, les unes se rapportant à des points , les autres à des droites, et se correspondant en vertu de ce qu’on a nommé le principe de dualité. Un des grands avantages du rapport anharmonique est de se prêter indifféremment à ces deux genres de propositions corrélatives , et d’en fournir des démonstrations directes et corrélatives à leur tour. On peut voir, en effet, que, dans les propositions que nous avons placées en regard l’une de l’autre, on passe de l’énoncé et de la démonstration de l’une à l’énoncé et à la démonstration de l’autre, en substituant certains faisceaux de droites concourantes à certaines séries rectilignes de quatre points, et réciproquement.

Le théorème fondamental du n° 320 était connu des anciens; il se trouve dans les Collections mathématiques de Pappus, qui vivait à Alexandrie à la fin du ive siècle. « Aucune autre proposition, dit M. Chasles dans la préface du Traité de Géométrie supérieure , ne me paraît aussi propre à servir de lien entre les diverses parties d’une figure dont on veut découvrir ou démontrer les propriétés. La proposition la plus fréquemment employée est celle de la proportionnalité entre les côtés des