CERCLES ORTHOGONAUX

383. i° Pour qu’un cercle (O) de rayon r soit coupé orthogonalement par un autre cercle (O'), il faut et il suffit que, de son centre, on puisse mener au cercle (O') une tangente égale à r.

La condition est nécessaire ; car, M désignant un des points communs aux deux cercles dont les deux centres sont O et O', la tangente en M au cercle (O') et le rayon OM se confondent comme étant perpendiculaires au môme point M à la tangente au cercle (O).

La condition est suffisante; car, soit OM la tangente menée du point O au cercle (O'); puisque OM est égale à r , le point M appartient aussi au cercle (O); d’ailleurs, la tangentq en ce point au cercle (O) est perpendiculaire au rayon OM, c’est-à-dire à la tangente au cercle (O'),

On peut encore énoncer le théorème de la manière suivante :

Pour qu’un cercle de rayon r soit coupé orthogonalement par un autre cercle , il faut et il suffit que la puissance cle son centre par rapport à cet mitre cercle soit égede à />2.

20 II résulte de là : i° que le lieu des centres des cercles qui sont coupes orthogonalement par deux cercles donnés A et B est le lieu des points d’où l’on peut mener aux cercles A et B des tangentes égales ; 20 que si un cercle O est coupé orthogonalement par deux cercles A et B, il est coupé orthogonalement par tout cercle du faisceau déterminé par A et B; car, le cercle O ayant son centre sur l’axe radical de A et de B, et cet axe étant commun à tous les cercles du faisceau, le centre en question aura, par rapporta tout cercle du faisceau, la môme puissance, laquelle est égale au carré du rayon du cercle O, puisque ce cercle est coupé orthogonalement par A et B. Pour plus de brièveté, nous dirons, d’un cercle qui est coupé orthogonalement par tous les cercles d’un faisceau, qu’il est orthogonal au faisceau.

3° Tous les cercles A1? Bi, Ci, ... orthogonaux à un faisceau F de cercles A, B, C, ... forment le faisceau conjugué du premier.

En effet, le centre du cercle A ayant, par rapport à chacun des cercles orthogonaux, une même puissance égale au carré de son rayon, appartient à l’axe radical de deux quelconques de ces cercles orthogonaux.

GÉOMÉTRIE PLANE

Comme il en est de même des centres des cercles B, C, on voit que les cercles orthogonaux Ai, Bl5 Ct, ... ont pour axe radical commun Bi la base L du faisceau F. Ces cercles orthogonaux forment donc un faisceau Ce faisceau a pour base Li l’axe radical B du faisceau F, puisque cet axe radical contient, comme nous l’avons vu, les centres de tous les cercles At, Bi, Cl5 .... Les deux faisceaux F et F t , étant tels que la base de l’un soit l’axe radical de l’autre et vice versa, ont donc leurs bases rectangulaires et le môme point central O, qui est l’intersection de L! et de Ri aussi bien que de L et de R ; dès lors, il reste seulement à prouver que les puissances p et p t des deux faisceaux sont égales et de signe contraire. Or, si F est du premier genre, on a

p = Oe = O/2,

e et/ étant les deux points limites; mais le cercle (ef , c’est-à-dire le cercle décrit sur ef comme diamètre, coupe orthogonalement tout cercle Q du faisceau F, puisque (382) du centre co du cercle Q, on peut mener au cercle (ef) une tangente égale au rayon de O. Donc le cercle (ef) fait partie du faisceau Fi, et la puissance pi de ce faisceau, c’està-dire la puissance du point central u> par rapport à (ef), est égale à

Oe.Of = — Oe = — p.

Si F est du second genre, on a

p = — ôp = — op7/

P et P' étant les points fondamentaux ; mais le cercle (PP'), c’est-à-dire le cercle décrit sur PP' comme diamètre, fait partie du faisceau F; il

est donc coupé orthogonalement par tout cercle du faisceau Fj et, par

suite, le carré OP de son rayon est égal à la puissance de son centre O par rapport à tout cercle du faisceau Ft, c’est-à-dire à la puissance p' de ce dernier faisceau ; on a donc

4° Soient O, O', O" trois cercles n’ayant pas le même axe radical. Si leur centre radical c est intérieur à l’un d’eux, il l’est aussi aux deux autres, et s’il est extérieur à l’un d’eux, il l’est aux deux autres. Dans le premier cas, il n’existe aucun point d’où l’on puisse mener aux trois cercles des tangentes égales et, par suite, aucun cercle ne saurait couper ces trois cercles orthogonalement. Dans le second cas, le centre radical c est le seul point d’où l’on puisse mener à ces trois cercles des tan-