IV. - PROBLÈMES SUR LES AIRES

PROBLÈME

4G0. Construire un triangle équivalent à un polygone donné (/g-. 263, 2.64).

Soit, par exemple, le pentagone convexe ABCDE [fig* 263).

géométrie tlane.

En menant la diagonale EG, on détache de ce pentagone le i triangle ECD. Si par le sommet I) on mène alors une parallèle DF à la diagonale EC, tous les triangles qui auront EC

Fifj. 263. Fij. 26/j.

pour base et leurs sommets sur DF seront équivalents au , triangle ECI) (426), et formeront avec le quadrilatère ECBÀ un polygone équivalent au pentagone proposé. Or, pour que le nouveau polygone ÀBCFE ait un sommet de moins, il suffit j de choisir parmi tous ces triangles celui dont le sommet est en F, à la rencontre de la parallèle DF et du côté BC prolongé. !

La construction indiquée permettant de transformer un po- j lygone quelconque en un polygone équivalent , mais ayant un côté de moins , on arrivera toujours, en la répétant, à un triangle équivalent au polygone proposé.

Dans la fig. 263, en menant par le sommet À, jusqu’à la rencontre de FB prolongé, la parallèle AG à la diagonale EB, 011 passe du quadrilatère EABF au triangle équivalent FEG. Ce triangle est donc équivalent au pentagone primitif.

461. Lorsque le polygone considéré n’est pas convexe [fig. 264), la construction reste la même. Le pentagone concave ABCDE, augmenté du triangle EDC, équivaut au quadrilatère ABCE; et ce quadrilatère, diminué du triangle EFC, qui est équivalent au triangle EDC, donne le quadrilatère ABFE équivalent au pentagone proposé.

ScOLIE .

462. Le problème précédent fournit un nouveau moyen pour évaluer l’aiie d’un polygone; on peut, en effet, transformer le polygone considéré en un triangle équivalent, puis calculer l’aire de ce triangle.