LIVRE II

LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

§ ï. — Des arcs et des cordes.

68. Étant données la base d’un triangle et la différence des deux autres côtés, trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées des extrémités de la base sur la bissectrice de l’angle au sommet. — Même question en remplaçant la différence des deux côtés par leur somme, et la bissectrice de l’angle au sommet par celle de son supplément.

69. Si l'on divise la corde d’un arc de cercle en trois parties égales, les rayons qui passent par les points de division partagent l’arc en trois parties, dont les deux extrêmes sont égales entre elles et moindres que la partie intermédiaire.

70. Par un point A extérieur à une circonférence O, on mène une sécante ÀCD dont la partie extérieure AC est égale au rayon; on mène en outre le diamètre AOB : démontrer que l’angle COA est le tiers de l’angle DOB.

71. Étant donnés une circonférence et un point dans son plan, quelle est la plus petite corde qu’on puisse mener par ce point dans la circonférence?

72. Si deux cordes égales sc coupent à l’intérieur ou à l’extérieur d’une circonférence, les segments déterminés sur ces deux cordes par leur point de rencontre sont respectivement égaux.

§ II. — Tangente an cercle. — Positions mutuelles de deux

circonférences.

73. La plus petite et la plus grande des droites qu’on peut mener entre deux circonférences passent par les centres de ces circonférences.

74. Étant donnés trois points non en ligne droite, faire passer par un point donné ou décrire avec un rayon donné une circonférence dont les trois premiers points soient également distants.

75. Si deux cordes AB et CD se coupent dans un cercle, la somme AC -+- BD des arcs qu’elles interceptent est égale à la somme des arcs interceptés par les deux diamètres parallèles à ces cordes.

76. Un cercle étant donné, combien faut-il de cercles de même rayon pour l’entourer?

77. On donne un cercle de centre O et de rayon R, et un point extérieur A. Du point A comme centre, avec OA pour rayon, on décrit un arc BOC, et du point O comme centre avec 2 R pour rayon, on décrit un nouvel arc qui coupe le précédent en B et en C. On mène OB et OC qui rencontrent respectivement en E et en D la circonférence primitive. Démontrer que AE et AD sont tangentes à cette circonférence.

78. AB étant un diamètre fixe d’un cercle, et CD une corde parallèle à ce diamètre, on mène CB et DA qui se coupent en M, puis CA et DR qui se coupent en N. Trouver le lieu des points M et N quand la corde CD se déplace parallèlement à elle-même.

79. Quel est le lieu des centres des circonférences de même rayon qui partagent une circonférence donnée en deux parties égales?

80. Quel est le lieu des centres des circonférences de même rayon qui coupent sous un angle donné une circonférence donnée?

§ III. — Mesure des angles.

81. A, B, C, étant trois points quelconques d’une circonférence, D le milieu de l’arc. AB, et E le milieu de l’arc AC, la droite DE coupe respectivement en F et en G les cordes AB et AC. Démontrer que AF = AG.

82. A étant un point quelconque d’un diamètre, B l’extrémité du rayon perpendiculaire à ce diamètre, on mène BA qui coupe le cercle en P, puis la tangente au point P qui coupe en C le diamètre prolongé. Démontrer que CA = CP.

83. A, B, C, A', B', C', étant six points pris sur une circonférence, de telle manière que AB soit parallèle à A' B' et AC à A'C', démontrer quo BC' et CB' sont parallèles.

84. Les hauteurs AA', BB', CC', d’un triangle quelconque ABC, sont les bissectrices des angles du triangle A'B'C'.

85. ABC étant un triangle inscrit dans un cercle, on joint le centre O au milieu D de l’arc BC, et l’on mène AD. Démontrer que l’angle ADO est la moitié de la différence des angles B et C.

86. Si par le point A, commun à deux circonférences qui se coupent, on mène à volonté deux sécantes ABC, ADE, les cordes BD et CE qui

GÉOMÉTRIE PLANE

joignent leurs extrémités se rencontrent sous un angle constant. — Dans le cas où les deux sécantes se confondent, comment faut-il énoncer le théorème?

87. On donne deux circonférences O et O' et un angle XAY situé dans leur plan. Le côté AX coupe la circonférence O aux points B et C et la circonférence O' aux points B' et C'; le côté AY coupe la circonférence O en D et E, la circonférence O' en D' et E'. Démontrer que les cordes BD, CE, B'D', C'E', indéfiniment prolongées, forment un quadrilatère inscriptible.

88. Si par le point d’intersection O des diagonales d’un quadrilatère inscrit ABCD, on mène la corde EOF qui a son milieu en O, la partie de cette corde interceptée entre les côtés opposés du quadrilatère sera aussi divisée par le point O en deux parties égales.

89. O étant le point de concours des hauteurs d’un triangle ABC et G le point où la hauteur AD rencontre le cercle circonscrit au triangle, on a OD = DG.

90. Étant donnés un triangle ABC et le cercle circonscrit, si du milieu de l’un quelconque des deux arcs sous-tendus par le côté BC on abaisse des perpendiculaires sur AB et sur AC, la somme des distances des pieds de ces perpendiculaires aux sommets du triangle est égale à la demisomme ou à la demi-différence des côtés AB et AC.

91. Si par le point A, milieu d’un arc BAC d’une circonférence, on mène deux cordes quelconques AD et AE qui coupent en F et en G la corde BC, le quadrilatère DFGE est inscriptible.

92. ABCD étant un quadrilatère inscriptible, on mène une circonférence passant par À et B, une seconde par B et C, une troisième par C et D, et une quatrième par D et A. Ces quatre circonférences se coupent successivement en quatre points L, M, N, P, autres que les points A, B, C, D. Démontrer que le quadrilatère LMNP est inscriptible.

93. Si dans un quadrilatère ABCD on prolonge les côtés opposés AB et CD jusqu’à leur rencontre E, puis les côtés opposés AD et BC jusqu’à leur rencontre F, on forme une figure qu’on nomme quadrilatère complet, et qui renferme quatre triangles ABF, ADE, BCE, DCF. Démontrer : i° que les cercles circonscrits à ces quatre triangles passent par un même point; 2° que ce point et les centres des quatre cercles sont sur une môme circonférence.

9i. Sur les trois côtés d’un triangle ABC, on construit extérieurement à ce triangle les triangles équilatéraux ABC', ACB', BCA'. Démontrer : i° que les trois droites AA', BB', CC', sont égales; i° qu’elles concourent

en un même point 0; 3° que, du point 0, on voit sous le même angle les trois côtés du triangle ABC.

96. Par un point fixe pris dans le plan d’un cercle, on mène diverses cordes : trouver le lieu des milieux de ces cordes.

96. Par l’une des extrémités d’un diamètre AB d’un cercle, on mène une corde quelconque AC que l’on prolonge d’une quantité CM égale à CB : quel est le lieu des points M?

97. On donne un cercle et un point fixe A situé dans son plan. ABC étant une corde quelconque issue du point A, on élève sur le milieu de cette corde une perpendiculaire IM égale à IA. Quel est le lieu des points M?

98. ABC étant un triangle équilatéral, quel est le lieu des points M, tels que MA = MB -+■ MC?

99. Trouver le lieu du point de concours des hauteurs des triangles qui ont même base et même angle au sommet.

100. Une circonférence roule dans l’intérieur d’un cercle de rayon double : quel est le lieu décrit par un point de cette circonférence?

101. Trouver le lieu des points tels, que si l’on abaisse de l’un d’eux des perpendiculaires sur les trois côtés d’un triangle fixe, les trois pieds de ces perpendiculaires soient en ligne droite.

102. Dans un triangle, on donne : la somme ou la différence de deux côtés et l’angle formé par ces côtés en grandeur et en position. Trouver le lieu du centre du cercle circonscrit.

103. Deux circonférences O et O' étant tangentes intérieurement au point A, et BC étant une corde de la grande circonférence tangente en D à la petite circonférence, la droite AD est la bissectrice de l’angle BAC.

101. La circonférence O touchant les deux circonférences O' et O" aux points A et B, on prolonge la corde AB jusqu’à son second point de rencontre C avec la circonférence O". Démontrer que les deux rayons O' A et Ü"C sont parallèles. La droite O'O" rencontrant les circonférences O' et O" aux points D et E, démontrer en second lieu que le quadrilatère ABDE est inscriptible.

105. Le point C étant le milieu d’un arc AB, et le point D un point quelconque de cet arc, on a AC -+- BG > AD -+- BD.

§ IV. — Construction des angles et des triangles.