LIVRE VI
LES POLYÈDRES
un plan parallèle à sa base. Prenons un point Sa la même hauteur que le point T au-dessus de la base GïIIK, et construisons dans le plan de celte base un triangle ABC qui lui soit équivalent. La pyramide triangulaire SABC sera équivalente à la pyramide polygonale TGI11K (644). Si l’on prolonge le plan LMNP jusqu’à la pyramide SABC, il déterminera dans cette pyramide une section DEF équivalente à la section LMNP (639) ; les deux pyramides SDEF, TLMNP seront donc aussi équivalentes. Par suite, le tronc polygonal GH1KLMNP, différence des pyramides TGI1IK, TLMNP, sera équivalent au tronc triangulaire ABCDEF, différence des pyramides SABC, SDEF. Et comme le tronc de pyramide triangulaire est équivalent à la somme de trois pyramides ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc et pour bases respectives les deux bases du tronc et la moyenne proportionnelle entre ces deux bases, il en sera de même du tronc de pyramide polygonale qui a même hauteur et des bases équivalentes.
Corollaires.
648. En désignant par V, B, 6, h les nombres qui mesurent respectivement le volume d’un tronc de pyramide à bases parallèles, ses deux bases et sa hauteur, on a la formule
V = i B/l + 4 AA r tt \jT7l
OU
(i) V=^(B+ b+ v'UÎ).
Souvent, au lieu de donner les deux bases B et b , on donne
l'une d’elles B et le rapport ~ de deux côtés homologues de
j. JL
ces deux bases; on a alors
b a 2 , ci 2 n
ï7 — ;» dou b — - B •
Il en résulte
B h ( a nr
V=T'Vf'
R. et de C. — Tr. de Géom. (IIe Partie).
GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
Cette formule, très-commode dans les applications, se trouve dans un Traité de Léonard de Pise, Sur les centres de gravité.
Exemple.
Les bases parallèles d'un tronc de pyramide sont deux hexagones réguliers ayant respectivement i mètre et 2 mètres de côté, sa hauteur est égale à 3 mètres : calculer son volume.
On a dans ce cas
et, en appliquant la formule (2),
c’est-à-dire
V = 3v/3. 3,5= i8mc, i86534
à 1 centimètre cube près.
ScOLIES.
649. On aurait pu employer, pour trouver le volume d’un tronc de pyramide polygonale, la méthode de décomposition déjà suivie dans d’autres cas (625, 643); mais celle marche exigeant ici la vérification d’une formule algébrique, il était préférable d’avoir recours à la méthode de transformation en ligures équivalentes.
