LIVRE II

LA CIRCONFÉRENCE RE CERCLE

La normale en an point d’une circonférence est donc dirigée suivant le rayon qui passe par ce point, c’est-à-dire que toutes les normales à la circonférence passent par son centre.

Il en résulte que par un point pris sur la circonférence on peut toujours lui mener une normale, mais une seule ; tandis que par un point 0, extérieur ou intérieur à celte courbe {fi g- 73), on peut en mener deux : la normale OA et la normale OB.

Toute droite qui n’est pas normale à la circonférence lui est oblique.

113. Foute oblique OE, issue d'un point 0 qui n appartient pas et la circonférence G, a sa longueur comprise entre celles des deux normales OA et OB qui passent par ce point [fig. 73 ).

Fig. 7.3.

Que le point 0 soit extérieur ou intérieur, OA est égal à la différence des côtés OC et CE du triangle OGE; donc la normale OA est plus petite que l’oblique OE, troisième côté du triangle.

De même, OB est égal à la somme des côtés OC et CE du même triangle; donc la normale OB est plus grande que l’oblique OE, troisième côté de ce triangle.

Scolie.

114. On appelle distance d’un point 0 à une circonférence la longueur de la plus petite OA des deux normales que l’on peut mener de ce point à la circonférence.

THÉORÈME

115. Deux parallèles interceptent sur la circonférence des ai es égaux.

GÉOMÉTRIE PLANE

31 faut distinguer trois cas :

i° Supposons {flg. 74) que les parallèles AB, CD, soient sécantes, et abaissons du centre O sur ces droites la perpendiculaire commune OM qui coupe la circonférence en M. Le

Fiff. 7^. Fig. 75. Fig. 76.

point M est (102) à la fois le milieu de l’arc EM F que soustend la corde EF, et le milieu de l’arc GMH que sous-tend la corde GIÏ ; on a donc

arc EM — arc FM, arc GM = arc HM ;

d’où, en soustrayant membre à membre,

arc EM • — arc GM = arc FM — arc HM,

c’est-à-dire

arc EG — arc F H .

20 Supposons {fig- 75 ) que les parallèles AB et CD soient l’une sécante et l’autre tangente. Alors le rayon OK, qui aboutit au point de contact, est (107, 110) une perpendiculaire commune à la tangente CD et à la corde EF qui lui est parallèle; il divise donc l’arc EliF, sous-tendu par cette corde, en deux parties égales, et l’on a

arc EK — arc FK.

3° Supposons enfin [fig. 76) que les deux parallèles AB et CD soient tangentes, l’une en I et l’autre en K. Les deux rayons 01 et OK, respectivement perpendiculaires à AB et à CD, seront dans le prolongement l’un de l’autre, puisque des droites parallèles ont leurs perpendiculaires communes. Les deux arcs KPI, KQI, sont donc égaux l’un et l’autre à une demicirconférence.