LIVRE VII

LES CORPS RONDS

face conique dont le sommet s'est éloigné indéfiniment dans la direction donnée; ou, plus brièvement, c’est une surface conique dont le sommet est à l’infini dans une certaine direction.

3° Une surface de révolution est le lieu des positions successives d’une ligne MNP qui tourne autour d’une droite fixe XY à laquelle elle est invariablement liée [fig- 479)-^ans ce mouvement, tout point M de la génératrice MNP décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à l’axe XY, et dont le centre O est sur cet axe; d’après cela, toutes les sections faites par des plans perpendiculaires à l’axe sont des cercles : ces cercles M,MM,, N,NN2, P, P P2, . . . sont les parallèles de la surface. On appelle méridiens les sections faites dans la surface par des plans passant par l’axe XY ; deux méridiens quelconques M,N1PI, M2N2P2 sont des lignes superposables: car, si l’on fait tourner le plan XOP, de l’angle P,OP2, de manière à amener le point P, sur le point P2, les points M,, N,,. . . arriveront respectivement sur Ma,N2, . . - , attendu que les angles M,OM2, N, O N,, . . PtOPî, sont égaux, comme angles plans d’un meme dièdre.

iA

Toute courbe tracée sur une surface de révolution peut être prise pour génératrice de cette surface; le plus souvent on choisit pour génératrice la courbe méridienne. Nous avons déjà étudié trois surfaces de révolution : la surface conique de révolution dont le méridien est une droite qui rencontre l’axe, la surface cylindrique de révolution dont le méridien

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

est une droite parallèle à l’axe, et la sphère dont le méridien est une circonférence ayant son centre sur l’axe.

Les surfaces de révolution admettent un second mode de génération fort remarquable : on peut les considérer comme le lieu des positions d’un cercle dont le centre parcourt l’axe fi x e XY, dont le plan reste perpendiculaire à cet axe, et dont le rayon varie suivant une loi telle, que le cercle rencontre sans cesse un méridien ou toute autre courbe tracée sur la surface. C’est ce cercle, variable de grandeur et de position, qui est alors la génératrice, et le méridien ou la courbe fixe considérée sur la surface qui est la directrice.

THÉORÈME

870. i° Les sections d’une surface cylindrique, par deux plans parallèles, sont égales.

2° Les sectiofis d’une surface conique, par deux plans parallèles, sont semblables.

En effet :

i° Soient la surface cylindrique AA' et deux sections ABC, A'B'C', faites par deux plans parallèles (fig. 4;^)* Prenons quatre points A, B, C, M, sur la première section, et menons les génératrices AA', BB', CC', MM', qui rencontrent la seconde section en A', B', C', M'. Les quadrilatères ABCM, A'B'C'M' sont superposables comme bases opposées d’un prisme quadrangulaire. D’après cela, si l’on transporte le plan de la seconde section sur celui de la première, dès que les trois points A', B', C' seront appliqués sur leurs correspondants A, B, C, tout point M' de la seconde section coïncidera avec son correspondant M de la première.

La section A'B'C' peut être considérée comme la projection obliqua (586) de ABC; on peut donc encore énoncer ce théorème de la manière suivante : Une courbe plane quelconque est égale à sa projection oblique (ou orthogonale ) sur un plan parallèle au sien.

2° Soient la surface conique SAMB et deux sections AMB, A'M'B', faites par deux plans parallèles (fig* 477)- Menons par le sommet une droite quelconque SOO' qui rencontre les