POLYÈDRES RÉGULIERS D’ESPÈCE SUPÉRIEURE

913. Nous avons déjà parlé (270) des nouveaux polygones réguliers découverts par M. Poinsot, et nous savons qu’iV y a autant de polygones réguliers dijfe'rcnts de m côtés que de nombres premiers à m depuis i

jusqu’à - ( m — i )

Si p est l’un quelconque de ces nombres, on joint les ni points de division de la circonférence de p en p , et l’on revient au point de départ après avoir fait un nombre de tours égal à p.

914. Les polygones étoilés qu’on obtient en suivant la marche indiquée « ont leurs m côtés et leurs m angles bien nets et bien distincts : » ce sont les angles qui ont lieu aux bouts réunis deux à deux des » m droites dont la chaîne continue achève complètement la figure. Les » autres angles, formés par les côtés non contigus qui se traversent, . . . , » ne doivent pas être comptés; pas plus que, dans les polygones ordi- » naires, on ne compte les angles qui auraient lieu à la rencontre des » côtés non contigus suffisamment prolongés. Sous ce point de vue, la » différence de ces polygones étoilés aux polygones ordinaires est que, )> dans ceux-ci, un côté quelconque aurait besoin d’être prolongé pour )> être rencontré par les côtés non contigus aussi prolongés, au lieu que, » dans les autres, les côtés mêmes peuvent être actuellement traversés » par les autres côtés.... Mais toutes ces distinctions sont plus appa- » rentes que réelles, et disparaissent tout à fait dans l’analyse où ces » polygones se présentent d’une manière inséparable. Si l’on cherche, en » effet, le côté d’un polygone régulier, on trouve une équation de degré » supérieur, dont toutes les racines sont réelles, et qui donne à la fois les » différents côtés de toutes les espèces de polygones réguliers de l’ordre » que l’on considère. » Poinsot, Journal de l’École Polytechnique, t. IV, p. a5).

915. L’ordre m d’un polygone est marqué par le nombre m de ses côtés ou de ses sommets; son espèce varie en raison du nombre premier

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

à m qui lui a donné naissance. Or, si ce nombre est p , il faut décrire p fois la circonférence (270) pour décrire le polygone lui-même. L’espèce d’un polygone étoilé est donc le nombre de circonférences parcourues en suivant tous ses sommets, ou le nombre de fois que les projections de ses côtés sur la circonférence circonscrite recouvrent cette circonférence. Si l’espèce d’un polygone étoilé est />», la somme de ses angles au centre vaut p fois quatre angles droits.

916. L'ordre d'un angle polyèdre est marqué par le nombre de ses faces. Il est d’ailleurs de même espèce que le polygone qui résulte de sa section par un plan. Si l’on considère une pyramide régulière ayant pour base un pentagone étoilé ou de seconde espèce, l’angle polyèdre au sommet est de seconde espèce, et les angles plans qui le forment, projetés sur la base de la pyramide, remplissent deux fois les quatre angles droits.

917. a ... En conservant toujours la définition générale des polyèdres » réguliers,..., on voit la possibilité de construire de nouveaux polyèdres » réguliers, non-seulement avec les nouveaux polygones (réguliers),..., » mais même avec les polygones réguliers ordinaires; et, pour bien en- :> tendre cela, il faut commencer par distinguer nettement dans un po :) lyèdre ses faces, ses arêtes et ses sommets.

» Comme un même polyèdre peut paraître également construit sous » tels ou tels polygones, on prend pour les faces les plans qui, en plus » petit nombre, achèvent complètement ce même polyèdre .

» Pour les arêtes , ce sont les côtés mêmes qui terminent les faces du » polyèdre, et par lesquels ces faces se joignent deux à deux, de sorte » que chaque arête sert de côté à deux faces adjacentes, et qu’ainsi le » nombre des arêtes est (toujours) égal à la moitié du nombre des côtés » de toutes les faces.

» C’est à ces seules droites, comme faîtes, que se trouvent les angles » dièdres du polyèdre; les autres angles que pourraient former les faces » en se traversant n’en font point partie, et de même c’est aux seuls » points où se réunissent les extrémités des arêtes que sont les sommets » et les angles polyèdres du polyèdre.

» Cela posé,... on peut construire de nouveaux polyèdres parfaitement » réguliers. . . : ils ont toutes leurs faces égales et régulières, également » inclinées deux à deux, et assemblées en même nombre autour de chaque » sommet. Ils peuvent être inscrits et circonscrits à la sphère (').... La

O Car la démonstration du n° 908 est fondée seulement sur Pégale inclinaison des faces égales et régulières du polyèdre et sur l’identité de position du centre de chacune d’elles par rapport à ses intersections avec les faces adjacentes