LIVRE 1F

LA CIRCONFÉRENCE T)E CERCLE

On arrivera donc à un reste qui sera une partie aliquote du précédent, et ce reste sera la plus grande commune mesure demandée.

138. Réciproquement, si, en appliquant le procédé qu’on vient d’indiquer à deux droites données, on arrive à un reste qui soit contenu un nombre exact de fois dans celui qui le précède, les deux droites considérées seront commensurables entre elles, et ce reste sera alors leur plus grande commune mesure.

Ainsi, supposons qu’on ait trouvé successivement

A=B + 11. B — 5R + R', R= 2 R7 -4- Rf/, R' = 3R *5

on aura

et le rapport des deux droites A et R sera représenté par le

nombre fractionnaire —• D’ailleurs R" étant la plus grande

JO

commune mesure de R' et de R" sera, d’après ce qui précède, la plus grande commune mesure de A et de R.

SCOLIE

139. Il résulte de là que le procédé précédent, appliqué à deux droites incommensurables entre elles, conduira à une série d’opérations interminable.

Cette conclusion, absolument rigoureuse en théorie;, ne se vérifie pas en pratique ; car les restes cessent d’être appréciables au compas. Mais, s’il est impossible de constater de cette manière, ou plus généralement au moyen d’une opération mécanique quelconque, l’incommensurabilité de deux droites, on peut parfois, lorsque les droites résultent d’une construction bien définie, démontrer géométriquement leur incommensurabilité en s’appuyant sur la théorie qui précède et en cherchant la loi des restes successifs.

Nous allons, comme exemple, démontrer ainsi que la diagonale AC et le côté AB d'un carré ABCD sont deux lignes incommensurables entre elles .

Le côté AB [fig. 96) étant moindre que la diagonale AC et plus grand que la moitié AO de cette diagonale, on voit d’abord que, si l’on prend sur la diagonale AC la longueur AE égale à AB, le reste EC sera moindre que AB.

GÉOMÉTRIE PLANE

Comparons maintenant ce reste EC au côté AB ou à son égal BC. Si i'on mène EF parallèle à BD, le triangle FEC, rectangle en E, sera isocèle, puisque l’angle EFC est égal à son correspondant OBC, et, par suite,

Fis- 96*

à ECF. Donc, dans ce triangle comme dans le triangle analogue ABC, si l’on prend FG égale à EC, le reste GC sera moindre que EC. D’ailleurs, les triangles rectangles ABF, AEF, ayant l’hypoténuse commune et un côté égal, sont égaux, et, par suite, BF est égal à FE ou à EC ou à FG. Donc enfin le côté BG contient deux fois EC, plus un reste GC moindre que EC.

Ce dernier résultat, énoncé d’une manière générale, prouve que dans tout triangle rectangle et isocèle le côté contient deux fois la différence entre l’hypoténuse et le côté, plus un reste moindre que cette différence. Donc, à son tour, le côté EC contiendra deux fois GC, plus un nouveau reste moindre que GC, et ainsi de suite.

On voit par là que, si l’on applique aux droites AC et AB la règle prescrite au n° 137, chaque reste contiendra deux fois le précédent, plus un nouveau reste moindre que celui-ci, de sorte que l’opération n’aura pas de fin. Les deux droites considérées sont donc incommensurables entre

pîlpq

PROBLÈME

140. Par un point B d’une droite BC, mener une seconde droite qui fasse avec la première un angle égal à un angle donné ( fi g . 97).

Du point A comme centre, avec une ouverture de compas

LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE