LIVRE VIII

voie de transformation des propriétés correspondantes de l’ellipse.

Par exemple, pour démontrer que la tangente à la parabole fait extérieurement des angles égaux avec le rayon vecteur du point de contact et avec la parallèle menée à l’axe par le même point (1033), il suffit de remarquer que, lorsque l’un des foyers de l’ellipse s’éloigne à l’infini, le rayon vecteur relatif à ce foyer tend à devenir parallèle au grand axe.

De même, pour établir que le lieu des projections du foyer de la parabole sur ses tangentes est la tangente au sommet (1042), on n’a qu’à observer que le cercle principal de l’ellipse tend vers la tangente au sommet fixe du grand axe, lorsque l’autre sommet se transporte à l’infini.

Si les propriétés considérées dépendent explicitement des axes a et b de l’ellipse et de sa distance focale c, on substitue à a et à b leurs valeurs en fonction de c et du paramètre p = 2.(a — c) de la parabole limite; puis, en supposant c infini dans les formules obtenues, on passe des propriétés de l’ellipse représentées par ces formules aux propriétés correspondantes de la parabole exprimées en fonction du paramètre p.

THÉORÈME

1076. Tous les diamètres de la. parabole sont des droites parallèles à Taxe.

On démontre immédiatement cette proposition en regardant la parabole comme la limite d’une ellipse (1074) dont l’un des foyers et le sommet voisin coïncident avec le foyer et le sommet de la parabole, mais dont l'autre foyer et, par suite, le centre se transportent à l’infini sur le grand axe de la courbe.

Les propriétés de l’ellipse démontrées aux nos 1065 et 1066 appartiennent aussi à la parabole limite. Ces propriétés vont nous permettre d’établir la proposition suivante.

THÉORÈME

1077. La parabole étant rapportée au système d’axes obliques formé par un diamètre et la tangente à son extrémité, dans ce nouveau système (Taxes, la sous-tangente est encore double de l’abscisse du point de contact (1045).

En effet, soient [fg. 5Go) la tangente Ay et le diamètre Ax pris pour

GÉOMÉTRIE DANS l’ ESPACE.

axes coordonnés; menons la tangente MT en un point quelconque M de la parabole. Si, par le point d’intersection G des tangentes A/ et MT, on

Fig. 56o.

mène une parallèle à A.r, cette parallèle coupera la corde AAI en son milieu (10G6) : le point G est donc le milieu de TM. AG/ étant parallèle à l’ordonnée MP, le point A est alors le milieu de la sous-tangente TP.

1078. U aire cl'un segment parabolique est les deux tiers du parallélogramme qui a pour côtés la corde et la flèche du segment, cette flèche étant mesurée sur le diamètre conjugué à la corde du segment.

Fig. 56 i .

Soit [flg. 56 1 ) le segment parabolique MAM, déterminé par la corde